ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

§ 6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

1. Признаки сравнения.

Начнем с изучения рядов, все члены которых неотрицательны.

Пусть дан ряд вида где все Так как то Это значит, что последовательность частичных сумм данного ряда неубывающая:

В курсе «Введение в анализ» доказывается, что для сходимости неубывающей последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, т. е. необходимо и достаточно, чтобы существовало тацое М, что для всех Значит, в этом и только в этом случае ряд где сходится.

Мы доказали следующее утверждение:

Теорема 6.1. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Если последовательность неубывающая, то ее предел не меньше любого из ее членов, т. е. для всех выполняется неравенство где

Доказанное утверждение позволяет установить следующий признак сходимости рядов с неотрицательными членами:

Теорема 6.2. Пусть даны два ряда члены которых неотрицательны, причем для всех выполняется неравенство Тогда если сходится ряд то сходится и ряд причем (из сходимости ряда соответственно с большими членами вытекает сходимость ряда с соответственно мецьщими членами).

Доказательство. Обозначим частичные суммы ряда через а ряда — через По предположению для всех имеем т. е.

Далее, так как ряд сходится, а члены этого ряда неотрицательны, то для всех имеем , где а — сумма этого ряда. Но тогда для всех имеем а. Это значит, что частичные суммы ряда ограничены сверху числом а поскольку члены этого ряда неотрицательны, он по теореме 6.1. сходится.

Обозначим через Из неравенства вытекает, что (это вполне естественно — если для всех имеем

Следствие. Если члены рядов неотрицательны и для всех выполняется неравенство то расходимости ряда вытекает, что и ряд расходится.

В самом деле, если бы ряд сходился, то по доказанной выше теореме сходился бы и ряд вопреки предположению.

Пример 6.1. Выше (см. пример 1.5) было доказано, что ряд - сходится. Но при любом имеет место неравенство Значит, ряд тоже сходится.

Пример 6.2. Так как ряд расходится, а при любом имеем — то ряд тоже расходится.

Замечание. Так как сходимость ряда равносильна сходимости любого его остатка, то члены рядов можно сравнивать и лишь начиная с некоторого места (однако если лишь при то, вообще говоря, неравенство может не иметь места).

Иногда удобнее применять другую теорему сравнения рядов с неотрицательными членами.

Теорема 6.3 (вторая теорема сравнения рядов с неотрицательными членами). Пусть все члены рядов

неотрицательны и пусть существует предел Тогда при оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда а из расходимости ряда — расходимость ряда

Доказательство. Пусть Выберем такую окрестность что (рис. 1). Так как то, начиная с некоторого значения все — окажутся в этой окрестности, а тогда для всех будут выполняться неравенства где . Но тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда а а тем самым и ряда Из сходимости же ряда следует сходимость ряда а тогда сходится и ряд Значит, сходимость одного из рядов (А), (В) влечет за собой сходимость другого ряда.

Рис. 1.

Если же то аналогичные рассуждения показывают существование такого что при выполняется неравенство Но тогда сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда а из расходимости ряда следует расходимость ряда Теорема доказана.

Пример 6.3. Мы знаем, что ряд V - сходится. Так как то и ряд сходится.