ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы в педагогических институтах введена новая программа единого курса алгебры и теории чисел. Главная цель этого курса — изучение основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов. Предлагаемое учебное пособие написано в соответствии с новыми программами.
Условно можно считать, что книга состоит из трех частей, тесно связанных между собой. К первой части относятся элементы логики, множества и отношения, начальные сведения об алгебрах и алгебраических системах и основные числовые системы. Элементы логики и теории множеств даются на содержательном уровне и в дальнейшем существенным образом используются как в курсе алгебры, так и в других математических дисциплинах. Начальные сведения об алгебрах и алгебраических системах, о группах и кольцах даны в третьей главе. На этой основе изучаются основные числовые системы: система натуральных чисел, кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, система действительных чисел и поле комплексных чисел. Система действительных чисел вводится как полное архимедовски упорядоченное поле. Во второй части (главы 5 — 9) излагается линейная алгебра. Сначала рассматриваются арифметические векторные пространства и системы линейных уравнений вне связи с определителями. Лишь в шестой главе дано приложение определителей к решению систем линейных уравнений. Такой подход имеет преимущества перед традиционным, так как вычислительная сторона основных задач темы становится менее трудной, теория систем линейных уравнений Органически включается в теорию арифметических векторных пространств.
В девятой главе изложены системы линейных неравенств и элементы линейного программирования (стандартные и канонические задачи, теорема двойственности и симплекс-метод).
Третья часть книги (главы 10 — 17) посвящена группам, теоретико-числовым темам, кольцам и кольцам полиномов. В последних двух главах изучаются кольца полиномов над основными числовыми полями и элементы теории полей.
Многие главы тесно связаны с новой школьной программой и могут служить основой для школьных факультативных курсов.
Все главы делятся на параграфы. В ссылках на параграф той же главы указывается номер параграфа, в ссылках же на параграф другой главы номер главы предшествует номеру параграфа. Теоремы, предложения и следствия нумеруются последовательно в пределах параграфа. При ссылке на теорему или предложение той же главы указывается номер параграфа и теоремы, а при ссылке на теорему или предложение другой главы указываются последовательно номера главы, параграфа и теоремы. Например, ссылка «теорема 4.2» обозначает теорему 2 четвертого параграфа той же главы, «теорема 4.2.6» — теорему 6 параграфа 2 главы 4.
Автор благодарит рецензентов, проф. Б. М. Бредихина и проф. М. М. Глухова, за ряд критических замечаний, способствующих улучшению рукописи книги.
Автор
