Полная линейная группа.
Согласно теореме 5.1, множество всех обратимых
-матриц над полем
есть группа относительно операций умножения и образования обратного элемента.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мультипликативная группа всех обратимых я
-матриц над полем
называется полной линейной группой степени
над полем
и обозначается
Легко видеть, что любой обратимый оператор векторного пространства
есть автоморфизм этого пространства. Обратно: любой автоморфизм пространства
есть обратимый оператор. Множество всех обратимых операторов векторного пространства
обозначается
.
Рассмотрим алгебру
, где
есть бинарная операция умножения линейных операторов пространства
и
есть операция образования оператора, обратного к данному оператору; эту алгебру будем обозначать символом
ТЕОРЕМА 4.2. Пусть
—векторное пространство над полем
Тогда алгебра
есть гриппа.
Доказательство. Множество
обратимых операторов пространства
замкнуто относительно операций
Действительно, если
— обратимый оператор, то
есть обратимый оператор, так как
Кроме того, если
— обратимые операторы, то их произведение есть обратимый линейный оператор, так как
Согласно теореме 2.3, умножение линейных операторов ассоциативно. Тождественный оператор
обратим и является нейтральным элементом относительно умножения, т. е.
для любого линейного оператора