Полная линейная группа.

Согласно теореме 5.1, множество всех обратимых -матриц над полем есть группа относительно операций умножения и образования обратного элемента.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мультипликативная группа всех обратимых я -матриц над полем называется полной линейной группой степени над полем и обозначается

Легко видеть, что любой обратимый оператор векторного пространства есть автоморфизм этого пространства. Обратно: любой автоморфизм пространства есть обратимый оператор. Множество всех обратимых операторов векторного пространства обозначается .

Рассмотрим алгебру , где есть бинарная операция умножения линейных операторов пространства и есть операция образования оператора, обратного к данному оператору; эту алгебру будем обозначать символом

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть —векторное пространство над полем Тогда алгебра есть гриппа.

Доказательство. Множество обратимых операторов пространства замкнуто относительно операций Действительно, если — обратимый оператор, то есть обратимый оператор, так как Кроме того, если — обратимые операторы, то их произведение есть обратимый линейный оператор, так как

Согласно теореме 2.3, умножение линейных операторов ассоциативно. Тождественный оператор обратим и является нейтральным элементом относительно умножения, т. е. для любого линейного оператора

Наконец, для любого обратимого оператора выполняются равенства . Таким образом, главные операции алгебры удовлетворяют всем групповым аксиомам. Следовательно, эта алгебра является группой.

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть есть -мерное ненулевое векторное пространство над полем . Тогда группа изоморфна полной линейной матричной группе .

Доказательство. Рассмотрим биективное отображение

определяемое равенством , где — матрица линейного оператора относительно фиксированного базиса пространства . Согласно теореме 3.3, для любых

Следовательно, для любых обратимых операторов имеем . По теореме 3.3.1, отсюда следует, что есть гомоморфизм. Следовательно, есть изоморфизм группы на группу