Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Пусть — векторное пространство со скалярным умножением над полем <М действительных чисел. Такое пространство называют также действительным векторным пространством.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное пространство над полем <М с положительно определенным скалярным умножением (т. е. а для любого ) называется евклидовым векторным пространством.
ТЕОРЕМА 6.1. Арифметическое векторное пространство над полем со стандартным скалярным умножением является евклидовым.
Доказательство. -арифметическое векторное пространство со стандартным скалярным умножением и — векторы этого пространства. По определению стандартного скалярного умножения, Следовательно, . А так как -действительные числа, то для любого ненулевого вектора а пространства .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Арифметическое векторное пространство со стандартным скалярным умножением называется -мерным стандартным евклидовым пространством и обозначается через
Пример. Рассмотрим множество V всех действительных функций одной действительной переменной непрерывных на отрезке [0, 1]. Множество V относительно сложения и умножений на действительные числа является (бесконечномерным) векторным пространством над Формула определяет в V скалярное умножение. Таким образом, получаем евклидово векторное пространство со скалярным умножением.
для любого 
) называется евклидовым векторным пространством.
со стандартным скалярным умножением является евклидовым.
-арифметическое векторное пространство со стандартным скалярным умножением и 
— векторы этого пространства. По определению стандартного скалярного умножения, 
Следовательно, 
. А так как 
-действительные числа, то 
для любого ненулевого вектора а пространства 
.
со стандартным скалярным умножением называется 
-мерным стандартным евклидовым пространством и обозначается через 
непрерывных на отрезке [0, 1]. Множество V относительно сложения и умножений на действительные числа является (бесконечномерным) векторным пространством над 
Формула 
определяет в V скалярное умножение. Таким образом, получаем евклидово векторное пространство со скалярным умножением.
