4. Пусть 
— линейное отображение векторного пространства U в пространство 
. Докажите, что если система 
линейно независима в 
, то система 
линейно независима в 
5. Пусть 
— инъективное линейное отображение векторного пространства U в пространство 
, Докажите, что если система 
линейно независима в U, то система 
нейно независима в 
.
6. Докажите, что линейное отображение 
векторного пространства U в пространство 
инъективно тогда и только тогда, когда 
7. Пусть 
— линейное отображение 
-мерного векторного пространства U на 
-мерное пространство У. Докажите, что 
есть изоморфизм.
8. Пусть 
— линейное отображение векторного пространства 
на одномерное пространство 
и 
Докажите, что 
9. Пусть 
-линейные операторы векторного пространства 
такие, что 
Докажите, что 
10. Пусть 
есть линейный оператор векторного пространства 
, удовлетворяющий условию 
Покажите, что 
11. Пусть U и — векторные пространства над полем причем пространство U одномерное. Докажите, что всякое ненулевое отображение U в 
является инъективным.
12. Пусть 
— векторное пространство всех линейных отображений конечномерного векторного пространства U в конечномерное пространство 
. Докажите, что
13. Пусть 
— конечномерные векторные пространства, размерности которых 
Докажите, что размерность векторного пространства от 
равна произведению 
14. Пусть 
— линейное отображение конечномерного векторного пространства U в векторное пространство 
. Докажите, что
15. Пусть 
— линейное отображение векторного пространства U в конечномерное векторное пространство 
. Пусть 
такая система векторов пространства U, что система 
является базисом пространства 
Докажите, что 
16. Пусть 
— линейный оператор конечномерного векторного пространства У над полем 
Докажите, что для достаточно большого натурального числа 
линейные операторы 
линейно зависимы над полем
— линейный оператор одномерного векторного пространства над полем 
. Докажите, что существует такой скаляр что 
для любого вектора 
— линейные операторы конечномерного векторного пространства и 
. Будет ли 
— линейное отображение векторного пространства U в пространстве и 
Докажите, что множество 
является линейным многообразием пространства U с направлением 
