Отношение делимости в кольце целых чисел.
Рассмотрим простейшие свойства делимости в кольце целых чисел.
Определение. Пусть а и b — целые числа. Говорят, что b делит а, если
для некоторого целого q. Вместо
делит а» говорят также, что а делится на
или что а кратно b, и пишут
или
. В противном случае говорят, что а не делится на b, а не кратно b, b не делит
не является делителем а, и пишут
.
Теорема 4.5. Пусть
— любые целые числа. Тогда
Свойства
отношения делимости легко следуют из определения делимости и свойств кольца
Их доказательство предоставляется читателю.
Лемма 4.6. Если произведение
натуральных чисел равно единице, то
Доказательство. Из условия
следует, что а и
отличны от нуля. По теореме 2.6, их можно представить в виде
Следовательно,
.
Если сумма натуральных чисел равна нулю, то в силу следствия 2.8 каждое слагаемое равно нулю. В частности,
следовательно,
.
Теорема 4.7. Если целое число а делит единицу, то
.
Доказательство. Предположим, что а делит единицу, т. е.
для некоторого целого b. Тогда
. Так как
— натуральные числа, то, по лемме
Следовательно, по теореме 4.1,
Поскольку а или —а является натуральным числом, то, по лемме 4.6, из
и равенства (1) следует, что
или
Теорема 4.8. Если целые числа
ассоциированы (т. е.
), то
.
Доказательство. По условию а делит b и b делит а, т. е.
для некоторых целых
поэтому
Если
то
и теорема верна. Если же
то из (1) следует
. По теореме 4.7, из равенства
следует, что
. Кроме того,
следовательно,