Обобщенный закон ассоциативности.
Пусть А. Пусть 
— последовательность 
элементов из А. Символом
обозначим композицию последовательности элементов, определяемую индуктивно следующим образом:
Согласно этому определению,
Если закон композиции — умножение, то композиция элементов 
называется произведением и обычно обозначается через при аддитивной записи композиция элементов 
называется суммой и обычно обозначается через 
Если бинарная операция на множестве А ассоциативна, то легко показать, что
В случае ассоциативной бинарной операции на А при рассмотрении композиции любой последовательности элементов из А можно любым образом расставлять скобки, как показывает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть А — множество с ассоциативной бинарной операцией и 
— последовательность элементов из А. Пусть 
, где 
— натуральные числа, и
тогда 
Доказательство (проводится индукцией по 
). Если 
то теорема, очевидно, верна. Предположим, что теорема верна, если последовательность содержит не более 
элементов.
Первый случай: 
. В этом случае 
По определению,
По индуктивному предположению,
следовательно,
Второй случай: 
. В этом случае
где 
и
следовательно,
Рассмотрим тот частный случай, когда бинарная ассоциативная операция на множестве А есть умножение и 
, где 
. Тогда, по определению,
СЛЕДСТВИЕ 1.2. Пусть А — множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией, умножением, и 
. Тогда для любых отличных от нуля натуральных чисел тип имеем:
Рассмотрим также случай, когда бинарная ассоциативная операция на множестве А называется сложением и 
где 
. Тогда, по определению,
СЛЕДСТВИЕ 1.3. Пусть А — множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией, сложением и 
. Тогда
для любых отличных от нуля натуральных чисел 
.
