Упражнения
1. Пусть 
— векторы пространства 
Покажите, что эти векторы тогда и только тогда линейно зависимы, когда 
2. Покажите, что арифметические 
-мерные векторы а, b линейно зависимы тогда и только тогда, когда а и b пропорциональны, т. е. для некоторого скаляра 
или 
3. Каким условиям должны удовлетворять скаляры 
, чтобы векторы 
были линейно зависимыми?
4. Докажите, что если к линейно независимой системе векторов 
приписать слева или справа какой-нибудь вектор b, то не более чем один вектор полученной системы будет линейно выражаться через предыдущие.
5. Пусть 
— две системы линейно независимых векторов. Докажите, что если 
то 
6. Пусть 
— поле вычетов по модулю 
Покажите, что а 
для любого вектора 
7. Пусть — поле классов вычетов по модулю 
Покажите, что 
для любого вектора 
8. Пусть 
— поле классов вычетов по модулю 
— целое положительное число. Сколько векторов содержит векторное пространство
9. В каком случае система векторов обладает единственным базисом?
10. Докажите, что Есякая линейно независимая подсистема 
векторов системы векторов ранга 
является базисом системы.
И. Пусть 
— линейно независимая система векторов, Докажите, что 
тогда и только тогда, когда система векторов 
линейно зависима.
12. Докажите, что 
тогда и только тогда, когда ранг системы векторов 
равен рангу системы векторов 
13. Докажите, что две непустые эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат одинаковое число векторов.
14. Покажите, что если две системы векторов имеют одинаковый ранг и векторы одной из этих систем линейно выражаются через векторы другой системы, то эти системы эквивалентны.
