Евклидовы кольца.
Пусть N — множество всех натуральных чисел, а К — основное множество кольца 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область целостности 
называется евклидовым кольцом, если существует отображение h множества К в N, удовлетворяющее условиям:
(а) для любых а, b из К при 
существуют в К такие элементы q, 
, что 
для любого а из К равенство 
выполняется тогда и только тогда, когда 
Пример. Пусть h — такое отображение множества Z целых чисел в N, что 
. В силу теоремы о делении с остатком (см. теорему 4.4.4) h удовлетворяет условиям (а) и (Р). Следовательно, 
есть евклидово кольцо.
ТЕОРЕМА 3.14. Евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
Доказательство. Пусть 
— евклидово кольцо и h — отображение множества К в N, удовлетворяющее условиям (а) и (Р). Нулевой идеал, очевидно, — главный. Пусть М — ненулевой идеал кольца 
. Нам надо доказать, что идеал М — главный. Так как 
— непустое множество, то в силу 
есть непустое подмножество множества 
и, значит, по теореме 4.3.11, 
имеет наименьший элемент.
Следовательно, существует в М такой ненулевой элемент b, что
Докажем, что 
. Пусть а — произвольный элемент множества 
. В силу условия (а) существуют в К такие элементы q и 
, что
Так как М — идеал и 
, то 
и в силу (1), (2) имеем
Следовательно, 
. А так как а — произвольный ненулевой элемент множества М, то 
. Поскольку 
, то 
следовательно, любой идеал евклидова кольца 
является главным.
СЛЕДСТВИЕ 3.15. Любое евклидово кольцо факториально. СЛЕДСТВИЕ 3.16. Кольцо 
целых чисел является кольцом главных идеалов и, значит, факториально.
Пример. Пусть 
. Множество 
замкнуто в кольце комплексных чисел. Поэтому алгебра 
есть подкольцо кольца 
Это кольцо называется кольцом целых гауссовых чисел. Покажем, что кольцо 
— евклидово. Рассмотрим отображение h множества 
в N такое, что при 
Условие (Р), очевидно, выполняется. Покажем, что для h выполняется условие (а). Пусть 
. Тогда 
где а, 
Существуют такие целые числа s и t, что 
Положим 
. Тогда 
, где 
при этом 
Поэтому 
и т. е. h удовлетворяет также условию (а).
Таким образом, кольцо целых гауссовых чисел является евклидовым.
