Евклидовы кольца.
Пусть N — множество всех натуральных чисел, а К — основное множество кольца
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область целостности
называется евклидовым кольцом, если существует отображение h множества К в N, удовлетворяющее условиям:
(а) для любых а, b из К при
существуют в К такие элементы q,
, что
для любого а из К равенство
выполняется тогда и только тогда, когда
Пример. Пусть h — такое отображение множества Z целых чисел в N, что
. В силу теоремы о делении с остатком (см. теорему 4.4.4) h удовлетворяет условиям (а) и (Р). Следовательно,
есть евклидово кольцо.
ТЕОРЕМА 3.14. Евклидово кольцо является кольцом главных идеалов.
Доказательство. Пусть
— евклидово кольцо и h — отображение множества К в N, удовлетворяющее условиям (а) и (Р). Нулевой идеал, очевидно, — главный. Пусть М — ненулевой идеал кольца
. Нам надо доказать, что идеал М — главный. Так как
— непустое множество, то в силу
есть непустое подмножество множества
и, значит, по теореме 4.3.11,
имеет наименьший элемент.
Следовательно, существует в М такой ненулевой элемент b, что
Докажем, что
. Пусть а — произвольный элемент множества
. В силу условия (а) существуют в К такие элементы q и
, что
Так как М — идеал и
, то
и в силу (1), (2) имеем
Следовательно,
. А так как а — произвольный ненулевой элемент множества М, то
. Поскольку
, то
следовательно, любой идеал евклидова кольца
является главным.
СЛЕДСТВИЕ 3.15. Любое евклидово кольцо факториально. СЛЕДСТВИЕ 3.16. Кольцо
целых чисел является кольцом главных идеалов и, значит, факториально.
Пример. Пусть
. Множество
замкнуто в кольце комплексных чисел. Поэтому алгебра
есть подкольцо кольца
Это кольцо называется кольцом целых гауссовых чисел. Покажем, что кольцо
— евклидово. Рассмотрим отображение h множества
в N такое, что при
Условие (Р), очевидно, выполняется. Покажем, что для h выполняется условие (а). Пусть
. Тогда
где а,
Существуют такие целые числа s и t, что
Положим
. Тогда
, где
при этом
Поэтому
и т. е. h удовлетворяет также условию (а).
Таким образом, кольцо целых гауссовых чисел является евклидовым.