Доказательство. Если
то
По условию, элемент и является трансцендентным относительно
. Поэтому из (1) следуют равенства
для
ТЕОРЕМА 1.2. Пусть
— коммутативные кольца,
— изоморфизм
на
, а
— простые трансцендентные расширения колец
соответственно. Тогда
причем существует единственный изоморфизм кольца
на кольцо
переводящий х в у и продолжающий изоморфизм
кольца
на
.
Доказательство. Обозначим через
отображение кольца
в кольцо
определяемое следующим образом: для любого
из
Нетрудно видеть, что
удовлетворяет условиям:
для любого
из
Дроме того,
сохраняет главные операции кольца
Действительно, если
то
Аналогично можно показать, что
Следовательно,
есть изоморфизм
на
переводящий х в у и продолжающий изоморфизм
Докажем, что существует единственный изоморфизм с указанными свойствами. Допустим, что
— другой изоморфизм кольца
на кольцо
такой, что
для любого
из