Глава четырнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ

Простое трансцендентное расширение кольца.

Пусть — коммутативные кольца с основными множествами К и L соответственно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо X называется простым расширением кольца с помощью элемента и, если выполняются условия:

(1) — подкольцо кольца

(2) любой элемент а из L можно представить в виде

Запись означает, что кольцо есть простое расширение кольца с помощью элемента . В этом случае основное множество кольца обозначают также через

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо называется простым трансцендентным расширением кольца , если выполняется следующее условие:

(3) для любых элементов множества К из равенства следуют равенства

Если — простое расширение кольца с помощью и и и удовлетворяет условиям (3), то элемент и называется трансцендентным относительно .

Если — простое трансцендентное расширение кольца с помощью и, то кольцо называется также кольцом полиномов от и над , а элементы кольца — полиномами от и над или полиномами над .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Пусть — простое трансцендентное расширение кольца при помощи . Тогда для любого элемента а кольца если где то для .

Доказательство. Если

то

По условию, элемент и является трансцендентным относительно . Поэтому из (1) следуют равенства для

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть — коммутативные кольца, — изоморфизм на , а — простые трансцендентные расширения колец соответственно. Тогда причем существует единственный изоморфизм кольца на кольцо переводящий х в у и продолжающий изоморфизм кольца на .

Доказательство. Обозначим через отображение кольца в кольцо определяемое следующим образом: для любого из

Нетрудно видеть, что удовлетворяет условиям: для любого из

Дроме того, сохраняет главные операции кольца Действительно, если то

Аналогично можно показать, что

Следовательно, есть изоморфизм на переводящий х в у и продолжающий изоморфизм

Докажем, что существует единственный изоморфизм с указанными свойствами. Допустим, что — другой изоморфизм кольца на кольцо такой, что для любого из

Тогда для любого из

таким образом,

СЛЕДСТВИЕ. Пусть — два простых трансцендентных расширения коммутативного кольца Тогда причем существует единственный изоморфизм кольца на кольцо переводящий х в у и индуцирующий тождественное отображение на К.