Ранг конечной системы векторов.

Теперь введем понятие ранга системы векторов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом конечной системы векторов называется число векторов, входящих в какой-нибудь базис системы. Ранг системы нулевых векторов и ранг пустой системы векторов считаются равными нулю.

Рассмотрим некоторые свойства ранга системы векторов.

ТЕОРЕМА 1.10. Если , то ранг системы векторов меньше или равен рангу системы векторов .

Доказательство. Если первая система состоит из нулевых векторов, то ее ранг равен нулю и поэтому не превосходит ранга второй системы . Предположим, что первая система векторов содержит хотя бы один ненулевой вектор. Тогда из условия теоремы следует, что и вторая система имеет ненулевые векторы. Следовательно, по теореме 1.9, эти системы обладают базисами. Предположим, что — базис первой системы, — базис второй системы. Тогда система эквивалентна системе и, по теореме 1.6,

Кроме того, по условию теоремы, , поэтому

По следствию 1.4, в силу линейной независимости системы векторов отсюда следует, что Следовательно, ранг первой системы векторов не больше ранга второй системы.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.11. Ранг любой подсистемы конечной системы векторов не больше ранга всей системы.

Доказательство. Это утверждение, очевидно, верно, если подсистема пуста. Если же подсистема не пуста, то предложение 1.11 непосредственно следует из теоремы 1.10.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.12. Эквивалентные конечные системы векторов имеют один и тот же ранг.

Это предложение следует из теоремы 1.10.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.13. Ранг любой конечной системы векторов -мерного арифметического векторного пространства не больше .

Доказательство. Пусть — единичные векторы арифметического векторного пространства Любая система векторов этого пространства содержится в линейной оболочке единичных векторов,

Следовательно, в силу теоремы 1.10 ранг системы векторов не больше .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.14. Если конечная система векторов имеет ранг , то любая ее подсистема из k векторов при линейно зависима.

Доказательство. Это утверждение, очевидно, верно, если система состоит из нулевых векторов. Предположим, что — данная система векторов, — ее базис, — подсистема данной системы; тогда

По следствию 1.3, при отсюда следует, что система векторов линейно зависима.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.15. Пусть ранг системы векторов

равен рангу системы векторов

Тогда вектор b можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1).

Доказательство. Предложение, очевидно, верно, если ранги систем (1) и (2) равны нулю. Предположим, что ранг системы (1) отличен от нуля и — базис системы (1). Так как, по условию, ранг системы (2) также равен , то ее подсистема линейно зависима. По свойству 1.4, отсюда следует, что Следовательно, т. е. существуют такие скаляры что