Упражнения
1. Пусть 
суть обычные операции сложения и умножения на множестве N натуральных чисел и 
-отображение множества N в N такое, что 
для всякого 
из N. Докажите, что h является гомоморфизмом алгебры 
в алгебру 
2. Пусть 
суть обычные операции сложения и умножения на множестве R действительных чисел и а — фиксированное положительное действительное число. Пусть 
-отображение R в R такое, что 
для всякого 
из R. Докажите, что h является гомоморфизмом алгебры 
в алгебру 
3. Пусть 
-гомоморфизм алгебры 
на алгебру 
где 
и 
-бинарные операции. Докажите, что:
если операция f коммутативна, то и операция g коммутативна;
если операция f ассоциативна, то и операция g ассоциативна;
если 
— нейтральный элемент относительно операции f, то 
является нейтральным элементом относительно операции 
если элемент 
симметризуем относительно операции f, то элемент 
симметризуем относительно операции g; если элементы 
взаимно симметричны относительно операции f, то элементы 
взаимно симметричны относительно операции 
4. Пусть 
-множество натуральных чисел, 
Пусть 
-отображение алгебры 
на алгебру 
такое, что для любого а; из N верно равенство 
Покажите, что h является изоморфизмом.
5. Пусть 
-множество действительных чисел, 
-множество положительных действительных чисел, 
— положительное действительное число, отличное от единицы. Пусть 
-отображение алгебры 
в алгебру 
такое, что 
для каждого 
из R. Докажите, что h является изоморфизмом.
6. Пусть 
-мономорфизм алгебры в и 
-мономорфизм алгебры 
в алгебру Докажите, что композиция 
является мономорфизмом алгебры 
в алгебру 
7. Приведите пример алгебры и отношения эквивалентности R на 
которое не является конгруэнцией в алгебре
8. Пусть h есть гомоморфизм алгебры в алгебру 
Докажите, что множество 
(гомоморфный образ основного множества алгебры 
) замкнуто в алгебре 
9. Пусть 
—гомоморфизм алгебры в алгебру 
. Докажите, что алгебра
где 
является подалгеброй алгебры 
Эту алгебру называют гомоморфным образом алгебры 
при гомоморфизме 
10. Пусть h — гомоморфизм алгебры 
в алгебру 
Докажите, что гомоморфный образ алгебры при этом гомоморфизме изоморфен фактор-алгебре 
где 
- конгруэнция, порожденная гомоморфизмом 
.
есть композиция естественного гомоморфизма алгебры 
на свою фактор-алгебру и изоморфизма этой фактор-алгебры на алгебру 
