Разложение определителя по строке или столбцу.
При вычислении определителей часто используется следующая теорема.
ТЕОРЕМА 5.3. Пусть
. Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения, т. е.
Доказательство. Представим в виде суммы
столбцов
столбец А матрицы А:
По свойству 4.5 определителей, этому представлению соответствует представление
в виде суммы
определителей:
По лемме 5.2, первое слагаемое этой суммы равно
второе —
и т. д. Следовательно,
Аналогично доказывается формула (2).
Формула (1) называется разложением определителя по
столбцу. Формула (2) называется разложением определителя по
строке.
ТЕОРЕМА 5.4. Пусть
. Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю, т. е.
Доказательство. Докажем формулу (3). Запишем А в виде
Заменив в матрице
столбец
произвольным вектором
получим матрицу
Разложим
по
столбцу:
Отметим, что это равенство верно для любого набора скаляров
. В частности, положив в нем
получим равенство
так как матрица В будет иметь два одинаковых столбца. Аналогично доказывается формула (4).