7. Докажите, что пересечение любого множества подпространств векторного пространства
является подпространством пространства
8. Пусть
- подпространства векторного пространства
Докажите, что
есть пересечение всех подпространств пространства
содержащих подпространства
9. Пусть а, b, с — векторы, удовлетворяющие условию
где
- ненулевые скаляры. Покажите, что
а).
10. Пусть векторы а, b линейно независимы. Покажите, что
11. Пусть система векторов а,
с линейно независима. Докажите, что
.
12. Покажите, что если вектор b есть линейная комбинация векторов
то
13. Предположим, что векторное пространство
порождается подпростоанством 21 и вектором а. Покажите, что если
то
14. Пусть
есть сумма подпространств X и
Покажите, что
если хотя бы один вектор
можно однозначно представить в виде
где
15. Пусть
есть прямая сумма подпространств
Покажите, что если
есть линейно независимая система векторов подпространства
— линейно независимая система векторов из
то
есть линейно независимая система векторов пространства
16. Пусть векторное пространство
есть сумма подпространств
Докажите, что
тогда и только тогда, когда
17. Пусть
где
-поле скаляров, состоящее из двух элементов, и
— линейно независимая система векторов пространства
Сколько векторов имеет линейная оболочка
этих векторов?