Подходящие дроби.

Пусть

есть конечная цепная дробь. Цепная дробь

где называется подходящей дробью к дроби (1). По определению, нулевой подходящей дробью к дроби (1) называется число Отметим, что подходящая дробь A может быть получена из подходящей дроби в результате замены элемента на

Определим числа индуктивно с помощью следующих формул:

ТЕОРЕМА 3.2. Для любой подходящей дроби к цепной дроби (1) имеет место равенство

Доказательство. Формула (4) доказывается индукцией по k. Из формул (3) непосредственно следуют равенства

т. е. утверждение теоремы верно для . Далее,

значит, утверждение теоремы верно для

Предположим, что утверждение теоремы верно для подходящей дроби, где , т. е.

и докажем, что утверждение теоремы верно для подходящей дроби. На основании формул (3) равенство (5) можно записать в виде

В обеих частях равенства (6) заменим элемент на . Эта замена переводит и поэтому из (6) получаем

Отсюда в силу (3)

Таким образом, из верности формулы (4) для следует верность этой формулы для . Поэтому формула (4) верна при всех .

Числа , определяемые формулами (3), называются соответственно числителем и знаменателем подходящей дроби. Формулы (3) дают удобный способ для последовательного вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей. При этом вычисление удобно проводить по следующей схеме:

Пример. Найдем подходящие дроби к цепной дроби :

Таким образом, подходящими дробями цепной дроби являются дроби

ТЕОРЕМА 3.3. Для выполняется равенство

Доказательство. Пусть . На основании формул (3) равенство (7) выполняется при

Кроме того, согласно (3),

В силу (8) отсюда следует, что

т. е. выполняется равенство (7).

СЛЕДСТВИЕ 3.4. Числа взаимно простые и, значит, каждая дробь несократима.

Доказательство. Ввиду (7) любой общий множитель есть делитель единицы. Поэтому числа взаимно простые и дробь несократима.

Между двумя последовательными подходящими дробями имеется важное соотношение, которое вытекает из (7).

СЛЕДСТВИЕ 3.5. Для выполняется равенство