§ 3. ПОДСТАНОВКИ

Подстановки. Группа подстановок.

Рассмотрим подстановки множества , где — натуральное число, отличное от нуля. Подстановкой множества М называется инъективное отображение множества М на себя.

Всякое отображение множества М на себя удобно записать в виде таблицы

Порядок чисел в первой строке этой таблицы несуществен, его можно как угодно изменить. Однако надо следить за тем, чтобы для всякого k число было записано непосредственно под

Множество всех подстановок множества М обозначим через элементы этого множества называются подстановками степени .

Если то: есть инъективное отображение, т. е. для любых из следует есть отображение М. на М, т. е. . Так как М — конечное множество, то из условия (1) следует условие (2), и наоборот.

Произведение двух подстановок множества М определяется как композиция отображений Таким образом, по определению

Композиция любых двух инъективных отображений множества М на себя есть инъективное отображение множества М на себя. Следовательно, для любых двух подстановок из имеем

Обозначим через тождественное отображение множества М на себя:

Легко видеть, что для любой подстановки из т. е. является нейтральным элементом относительно умножения.

Если — подстановка множества М, то — также подстановка множества М и При этом

ТЕОРЕМА 3.1. Алгебра является группой.

Доказательство. Выше мы установили, что множество замкнуто относительно главных операций По теореме 2.3, композиция функций ассоциативна. Следовательно, операция умножения подстановок ассоциативна. Тождественная подстановка есть нейтральный элемент относительно умножения, и для любой подстановки из выполняется равенство Таким образом, алгебра является группой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа называется симметрической группой степени и обозначается через Элемент называется единичным элементом этой группы.