Подгруппы циклической группы.
Покажем, что всякая подгруппа циклической группы тоже циклическая.
ТЕОРЕМА 3.7. Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа.
Доказательство. Пусть — мультипликативная циклическая группа с образующим элементом а. Пусть 
— подгруппа группы 5. Теорема, очевидно, верна, если Я содержит только один элемент. Предположим, что Я содержит более одного элемента, Подгруппа содержит хотя бы одну положительную степень элемента а, ибо если 
то 
. Пусть 
— элемент из Я с наименьшим положительным показателем степени s. Всякий элемент из Я есть элемент вида 
. Если 
, то s делит k. В самом деле, по теореме о делении с остатком (теорема 4.4.4), для чисел k и s существуют такие целые числа q и 
, что
Ввиду 
. Так как 
то в силу выбора числа s 
значит, 
. Таким образом, множество 
состоит из степеней элемента 
. Следовательно, является циклической группой с образующим элементом 
