Подгруппы.

Пусть — группа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подгруппой группы называется любая подалгебра этой группы.

Более подробно в соответствии с определением подалгебры определение подгруппы можно сформулировать следующим образом.

Алгебра типа (2, 1) называется подгруппой группы если и тождественное отображение множества Н в G является мономорфизмом алгебры в т. е. выполняются условия:

Запись означает, что алгебра является подгруппой группы

Если то из определения подгруппы следует, что множество замкнуто в группе значит применение любой главной операции группы к элементам из приводит снова к элементу из . Кроме того, в силу условий (1) и (2) каждая главная операция алгебры является ограничением соответствующей главной операции группы множеством .

ТЕОРЕМА 3.3. Любая подгруппа группы является группой. Нейтральный элемент группы является нейтральным элементом любой ее подгруппы.

Доказательство. Пусть — подгруппа мультипликативной группы — нейтральный элемент группы

Бинарная операция алгебры ассоциативна, так как в силу (1) для любых а, b, с из имеем

Элемент принадлежит , так как в силу (1) и (2) для любого а из имеем . В силу (1) для любого а из верны равенства т. е. является правым нейтральным элементом относительно операции

В силу (2) для любого а из получаем а Следовательно, алгебра является группой и нейтральный элемент.

Пусть — мультипликативная группа и А — непустое подмножество множества G, замкнутое относительно главных операций группы . Пусть — ограничения главных операций группы множеством А, т. е.

Тогда, по теоремам 2.6 и 3.3, алгебра

является подгруппой группы

Таким образом, подгруппа группы однозначно определяется непустым подмножеством , замкнутым в Поэтому вместо записи (3) пишут: «подгруппа или говорят: «множество А является подгруппой группы относительно операций

ТЕОРЕМА 3.4. Бинарное отношение -3 («быть подгруппой») на множестве подгрупп данной группы рефлексивно, транзитивно и антисимметрично и, следовательно, является отношением нестрогого порядка.

Эта теорема есть частный случай теоремы 2.8.

ТЕОРЕМА 3.5. Пересечение произвольной (непустой) совокупности подгрупп группы является подгруппой группы

Эта теорема непосредственно следует из теоремы 3.3.

Из теоремы 3.6 следует, что для любого множества М элементов группы существует наименьшая подгруппа содержащая М. Нетрудно видеть, что является пересечением веех подгрупп группы содержащих М. Эта наименьшая подгруппа называется подгруппой, порожденной множеством М, а М — множеством образующих или системой образующих группы .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа называется циклической, если она порождается одним элементом (одноэлементным множеством).

Примеры. 1. Пусть — аддитивная группа действительных чисел. Множество Q рациональных чиеел есть подмножество множества R, замкнутое относительно главных операций группы Следовательно, алгебра аддитивная группа рациональных чисел, является подгруппой группы

2. Пусть — мультипликативная группа действительных чисел. Множество отличных от нуля рациональных чисел есть подмножество множества R, замкнутое относительно главных операций группы Следовательно, алгебра мультипликативная группа рациональных чисел, является подгруппой группы

3. Пусть — группа вращений плоскости вокруг данной точки О и — множество, состоящее из вращений плоскости вокруг точки О, отображающих - правильный -угольник с центром в точке О на себя. Множество замкнуто относительно главных операций группы Следовательно, алгебра группа вращений правильного -угольника, является подгруппой группы