Ортогональная система векторов.

Пусть — векторное пространство (над полем ) со скалярным умножением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы а, b из V называются ортогональными или взаимно ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Запись означает, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов пространства называется ортогональной, если взаимно ортогональны любые два вектора системы. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, считается ортогональной. Ортогональная система векторов, являющаяся базисом пространства , называется ортогональным базисом пространства.

ТЕОРЕМА 5.2. Пусть — векторное пространство с невырожденным скалярным умножением. Ортогональная система ненулевых векторов пространства линейно независима.

Доказательство. Пусть

— ортогональная система ненулевых векторов пространства . Покажем, что для любых скаляров (из F) из равенства

следует равенство нулю всех коэффициентов. Умножив обе части равенства (2) на вектор получим

В силу ортогональности системы (1) отсюда получаем равенство

Так как, по условию, и скалярное умножение в невырожденное, то . Поэтому из (3) вытекают равенства

Следовательно, система векторов (1) линейно независима.

СЛЕДСТВИЕ 5.3. Если — ненулевое -мерное векторное пространство с невырожденным скалярным умножением, то любая ортогональная система ненулевых векторов пространства является ортогональным базисом пространства .