Глава девятая. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

§ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Основные понятия.

Система вида

где , называется системой линейных неравенств.

Положим

Систему (1) можно записать в векторной форме:

где

Обозначим через А матрицу, составленную из коэффициентов системы (1):

Систему (1) можно записать в матричной форме:

Пусть есть -мерное арифметическое пространство над полем действительных чисел и — его основное множество.

Вектор из R с координатами называется решением системы (1), если

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система (1) называется несовместной, если она не имеет решений.

Вектор называется неотрицательным, если для . Неотрицательный вектор называется положительным, если положительна хотя бы одна его координата.

Неравенство

называется следствием системы (1), если каждое решение системы (1) является решением неравенства (4). Неравенство вида

где называется неотрицательной линейной комбинацией неравенств системы (2).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Любая неотрицательная линейная комбинация неравенств системы (2) является следствием этой системы.

Доказательство. Пусть неравенство (5) есть неотрицательная линейная комбинация неравенств системы (2). Пусть есть любое решение системы (2),

Умножив неравенство (6) на для от и сложив все эти неравенства, получим

Таким образом, неравенство (5) является следствием системы (2).