Подмножества, замкнутые относительно операций.

Пусть Т — бинарная операция на множестве А и .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество В множества А называется замкнутым относительно операции Т» если для любых а, b из В элемент принадлежит В.

Отметим, что пустое подмножество замкнуто относительно любой операции .

Примеры. 1. Множество всех четных чисел замкнуто относительно сложения и умножения целых чисел.

2. Множество всех нечетных чисел замкнуто относительно умножения, но не замкнуто относительно сложения целых чисел.

3. Множество всех элементов (из А), регулярных относительно ассоциативной операции Т. замкнуто относительно Т.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. Множество всех элементов, симметризуемых относительно ассоциативной бинарной операции Т. замкнуто относительно Т.

Доказательство этого предложения непосредственно вытекает из теоремы 1.6.

Пусть В — непустое множество, , замкнутое относительно операции Т Тогда на В можно определить бинарную операцию Т следующим образом:

Операция Т называется ограничением операции Т множеством В, а операция Т — продолжением операции Т на множество А.