Подсистемы.

Пусть — однотипные алгебраические системы, — главная операция системы соответствующая ей главная операция системы — главное отношение системы — соответствующее ему главное отношение системы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система называется подсистемой системы , если и для каждой главной операции и каждого главного отношения Кл выполняются условия:

где — ранг операции — ранг отношения

Другими словами, система называется подсистемой системы если и тождественное отображение является мономорфизмом системы в систему . Запись означает, что система является подсистемой системы

Из определения следует, что если то множество замкнуто в системе , значит применение любой главной операции к элементам множества приводит снова к элементам множества . В силу (1) каждая главная операция алгебры является ограничением соответствующей операции множеством

Пусть — отношение ранга на множестве В и

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение S ранга на множестве А называется ограничением отношения R множесгтом А, если что эквивалентно условию

Из этого определения следует в силу (2), что каждое главное отношение подалгебры является ограничением соответствующего ему отношения самой алгебры.

Пусть — алгебраическая система и С — произвольное непустое подмножество множества замкнутое относительно главных операций системы . Обозначим через . С ограничения множеством С соответственно операции и отношения Система

является подсистемой системы . Таким образом, подсистема системы однозначно определяется непустым подмножестом С, замкнутым в системе

Поэтому вместо (3) пишут: «подсистема или «множество С является подсистемой относительно операций и отношений