§ 3. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Отношение порядка.
Рассмотрим отношения порядка на множестве натуральных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для натуральных чисел а и b существует такое натуральное число k, что
, то говорят, что «а меньше
и пишут
Говорят, что «а меньше или равно b», и пишут
если
или
.
Отношение, инверсное к отношению
обозначают символом
. Таким образом,
тогда и только тогда, когда
. Если
или
, то говорят, что «а больше или равно b», и пишут
Отношение является инверсией к отношению
ТЕОРЕМА 3.1. Для любых натуральных чисел а и b:
ТЕОРЕМА 3.8. Отношение
монотонно относительно сложения и умножения, т. е. для любых натуральных чисел а, b и с:
Доказательство. Условие
равносильно условию
для некоторого натурального k, которое, по закону сокращения, равносильно условию
для некоторого натурального k, т. е. условию
Предположим, что
. Существует такое натуральное число k, что
. Умножив обе части равенства на с, получим
По теореме
поскольку
следовательно,
СЛЕДСТВИЕ 3.9. Отношение
монотонно относительно сложения и умножения, т. е. для любых натуральных а, b и с:
ТЕОРЕМА 3.10. Для любых натуральных чисел
и с из
следует
Доказательство. Согласно следствию 3.9, для любых натуральных а, b, с
если
то
Отсюда по закону контрапозиции вытекает утверждение:
если