Композиция функций.
Рассмотрим свойства композиции функций. При этом композиция функций понимается как композиция отношений.
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть f и g — функции. Тогда их композиция 
также есть функция такая, что
Доказательство. 
определению композиции бинарных отношений 
есть множество всех пар 
таких, что для некоторого z выполняется одновременно 
т. е.
Так как g — функция, то 
означает, что 
Поскольку 
— функция, вхождение 
означает, что
Следовательно,
Следовательно, 
есть функция, для которой выполняются равенства (1), (2), (3).
Следствие 3.2. Пусть 
— произвольные функции; тогда
Теорема 3.3. Если g — отображение множества А в В и 
— отображение множества В в С, то 
является отображением множества А в С.
Доказательство. По условию, 
По следствию 3.2, отсюда вытекает, что
Следовательно, 
является отображением множества А в С.
ТЕОРЕМА 3.4. Если g — отображение множества А на В и 
— отображение множества В на С, то 
является отображением множества А на С.
Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 3.3 и следствия 3.2.
ТЕОРЕМА 3.5. Композиция функций обладает свойством ассоциативности, т. е. 
для любых функций f, g и 
Теорема 3.5 непосредственно следует из теоремы 2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение множества А на себя такое, что 
для каждого 
из А, называется тождественным или единичным отображением множества А на себя.
ТЕОРЕМА 3.6. Пусть 
отображение множества А на В. Тогда 
Доказательство. Инверсия 
функции 
есть бинарное отношение такое, что
По определению композиции отношений
Из 
следует
Так как f — функция, то из (2) следует равенство 
Поэтому (1) можно записать в виде
Отсюда, поскольку 
есть отображение А на В, получаем
Следовательно, 
ТЕОРЕМА 3.7. Пусть 
— функции, удовлетворяющие условию
Тогда если 
то 
Доказательство. Предположим, что
В силу (1) для любого у из 
найдется элемент 
такой, что 
Отсюда в силу (2) следует, что
для любого у из 
Кроме того, в силу 
Следовательно, 
