Так как
то для каждого члена
последовательности существует такое
что
Поэтому последовательность
сходится к
:
В силу (1) все элементы последовательности
принадлежат кругу
. По теореме Больцано — Вейерштрасса, эта последовательность обладает подпоследовательностью
сходящейся к некоторой точке а круга
, т. е.
По теореме 1.3, из (3) следует, что
Так как
есть подпоследовательность последовательности
которая сходится к
, то
На основании (3), (4) и (5) заключаем, что
ТЕОРЕМА 1.5. Модуль любого полинома
из
достигает своего наименьшего значения на множестве С.
Доказательство. Теорема, очевидно, верна, если
или
Поэтому предположим, что
. Положим
. По теореме 1.1,
Пусть
По теореме
достигает наименьшего значения в круге К, т. е. существует число а такое, что
На основании (1) и (3) заключаем, что
В силу (2) и (4) имеем
. Таким образом,
достигает на множестве С наименьшего значения в точке а.