§ 2. ПОДПРОСТРАНСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Подпространство.

Пусть — векторное пространство над полем . Множество U называется замкнутым в если оно замкнуто относительно главных операций операций сложения и умножения на скаляры, т. е. для любых а, b из V и любого X из .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подпространством векторного пространства называется любая подалгебра пространства рассматриваемого как алгебра.

Пусть — векторное пространство над Пусть — подалгебра пространства — его основное множество. Тогда — непустое подмножество множества V, замкнутое в . Пусть — ограничения главных операций и пространства множеством U, т. е.

тогда

Однако вместо записи (1) обычно пишут

Отметим следующие свойства подпространств.

СВОЙСТВО 2.1. Если векторное пространство над полем то любое его подпространство является векторным пространством над

СВОЙСТВО 2.2. Если W — подпространство векторного пространства — подпространство векторного пространства , то является подпространством пространства

Пересечением подпространств векторного пространства называется подпространство с основным множеством Аналогично определится пересечение бесконечного множества подпространств пространства .

СВОЙСТВО 2.3. Пересечение любого множества подпространств векторного пространства является подпространством пространства ПР.

Свойства 2.2 и 2.3 следуют из теорем 3.1.7 и 3.1.9 соответственно.