Алгебра и теория чисел

Научная библиотека

Научная библиотека

Алгебра и теория чисел

Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с.

В книге систематически изложены элементы логики, множества и отношения, алгебры и алгебраические системы, основные числовые системы, основы линейной алгебры, включающие системы линейных неравенств, группы, теоретико-числовые темы, кольца и кольца полиномов, полиномы над основными числовыми полями и элементы теории полей.

Предназначается для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава первая. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
§ 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Формулы логики высказываний.
Законы логики.
Упражнения
§ 2. ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ
Схемы доказательств.
§ 3. ПРЕДИКАТЫ
Предикаты.
Операции над предикатами.
Упражнения
§ 4. КВАНТОРЫ
Запись высказываний на языке логики предикатов.
Упражнения
§ 5. ПРЕДИКАТНЫЕ ФОРМУЛЫ. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
Предикатные формулы.
Законы логики предикатов.
Упражнения
Глава вторая. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ
§ 1. МНОЖЕСТВА
Подмножества.
Пустое множество.
Операции над множествами.
Основные свойства операций над множествами.
Универсальное множество. Дополнение множества.
Диаграммы Эйлера — Венна.
Упражнения
§ 2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Упражнения
§ 3. ФУНКЦИИ
Композиция функций.
Инъективные функции.
Обратимые функции.
Ограничение функции.
Упражнения
§ 4. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Отношение эквивалентности.
Фактор-множество.
Отношение равнообразности отображения.
Упражнения
§ 5. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА
Упорядоченное множество.
Упражнения
Глава третья. АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 1. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Виды бинарных операций.
Нейтральные элементы.
Симметричные элементы.
Подмножества, замкнутые относительно операций.
Аддитивная и мультипликативная формы записи.
Конгруэнция.
Упражнения.
§ 2. АЛГЕБРЫ
Гомоморфизмы алгебр.
Подалгебры.
Фактор-алгебра.
Упражнения
§ 3. ГРУППЫ
Примеры групп.
Простейшие свойства группы.
Гомоморфизмы групп.
Подгруппы.
Упражнения
§ 4. КОЛЬЦА
Простейшие свойства кольца.
Гомоморфизмы колец.
Подкольца.
Упражнения
§ 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Изоморфизмы алгебраических систем.
Подсистемы.
Упражнения
Глава четвертая. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. СИСТЕМА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Слова в однобуквенном алфавите.
Система натуральных чисел.
Принцип математической индукции.
Упражнения
§ 2. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Свойства умножения.
§ 3. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Полная упорядоченность множества натуральных чисел.
Упражнения
§ 4. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Естественное умножение в аддитивной группе целых чисел.
Кольцо целых чисел.
Отношение делимости в кольце целых чисел.
Упражнения
§ 5. ПОЛЯ. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Поле рациональных чисел.
Упражнения
§ 6. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Система действительных чисел.
Упражнения
§ 7. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Поле комплексных чисел.
Модуль комплексного числа.
Геометрическое представление комплексных чисел.
Упражнения
§ 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Корни n-й степени из единицы.
Корни n-й степени из произвольного комплексного числа.
Упражнения
Глава пятая. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Эквивалентные системы векторов.
Базис конечной системы векторов.
Ранг конечной системы векторов.
Упражнения
§ 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования системы.
Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.
Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы.
Теоремы о следствиях системы линейных уравнений.
Упражнения.
§ 3. СТУПЕНЧАТЫЕ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Приведенные ступенчатые матрицы.
Однородные системы линейных уравнений.
Фундаментальная система решений.
Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
Упражнения
Глава шестая. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА
Транспонирование произведения матриц.
Упражнения
§ 2. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ
Элементарные матрицы.
Вычисление обратной матрицы.
Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.
Упражнения
§ 3. ПОДСТАНОВКИ
Четные и нечетные подстановки.
Знак подстановки.
Упражнения
§ 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Основные свойства определителей.
Упражнения
§ 5. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ
Разложение определителя по строке или столбцу.
Определитель произведения матриц.
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
§ 6. ТЕОРЕМЫ О МАТРИЦАХ. ПРАВИЛО КРАМЕРА
Правило Крамера.
Условия, при которых система n линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевые решения.
Упражнения
Глава седьмая. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Простейшие свойства векторных пространств.
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Упражнения
§ 2. ПОДПРОСТРАНСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Линейная оболочка множества векторов.
Сумма подпространств.
Линейные многообразия.
Упражнения
§ 3. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Дополнение независимой системы векторов до базиса.
Размерность векторного пространства.
Упражнения.
§ 4. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Изоморфизм векторных пространств.
Упражнения
§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ
Ортогональная система векторов.
Процесс ортогонализации.
Упражнения.
§ 6. ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Норма вектора.
Ортонормированный базис евклидова пространства.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
Упражнения.
Глава восьмая. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Ядро и образ линейного оператора.
Операции над линейными отображениями.
Упражнения
§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ
Связь между координатными столбцами векторов х и ф(x).
Ранг линейного оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов.
Упражнения
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ
Алгебра линейных операторов векторного пространства
Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры.
Упражнения
§ 4. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Полная линейная группа.
Упражнения
§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Нахождение собственных векторов линейного оператора.
Характеристическое уравнение.
Линейные операторы с простым спектром.
Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
Упражнения
Глава девятая. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
§ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Однородные системы линейных неравенств и выпуклые конусы.
Следствия однородной системы линейных неравенств.
Теорема Минковского.
Критерий несовместности системы линейных неравенств.
Неотрицательные решения системы линейных уравнений и системы линейных неравенств.
Упражнения
§ 2. СТАНДАРТНЫЕ И КАНОНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Допустимые и оптимальные векторы.
Теорема двойственности для стандартных задач.
Теорема двойственности для канонических задач.
Теорема равновесия.
Упражнения
§ 3. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Упражнения
Глава десятая. ГРУППЫ
§ 1. ПОЛУГРУППЫ И МОНОИДЫ
Моноиды.
Обобщенный закон ассоциативности.
Упражнения
§ 2. ПОДГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
Смежные классы.
Теорема Лагранжа.
Упражнения
§ 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Циклические группы.
Подгруппы циклической группы.
Упражнения
§ 4. НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ И ФАКТОР-ГРУППЫ
Фактор-группа.
Ядро гомоморфизма.
Упражнения
Глава одиннадцатая. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Простые числа.
Разложение целых чисел на простые множители.
Делители целого числа.
Число и сумма натуральных делителей числа.
Бесконечность множества простых чисел.
Решето Эратосфена.
Упражнения
§ 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
Взаимно простые числа.
Наименьшее общее кратное.
Упражнения
§ 3. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
Конечные цепные дроби.
Подходящие дроби.
Упражнения.
§ 4. ЦЕЛЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
Арифметические операции над целыми систематическими числами
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Упражнения
§ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Функции T(х) и Л(х).
Неравенства для функции Т(х).
Неравенства Чебышева.
Простые числа в арифметических прогрессиях.
Упражнения
Глава двенадцатая. ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ
§ 1. СРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА
Упражнения
§ 2. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ
Упражнения
§ 3. ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ
Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем.
Функция Эйлера.
Теоремы Эйлера и Ферма.
Упражнения
§ 4. СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ. СРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
Сравнения первой степени.
Сравнения высших степеней по простому модулю.
Упражнения
§ 5. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
Первообразные корни по простому модулю.
Индексы по простому модулю.
Двучленные сравнения.
Упражнения
§ 6. ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В СИСТЕМАТИЧЕСКУЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПЕРИОДА СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ДРОБИ
Упражнения
Глава тринадцатая. КОЛЬЦА
§ 1. ИДЕАЛЫ КОЛЬЦА. ФАКТОР-КОЛЬЦО
Сравнения и классы вычетов по идеалу.
Фактор-кольцо.
Теорема об эпиморфизмах колец.
Характеристика кольца.
Наименьшее подкольцо кольца.
Упражнения
§ 2. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ
Изоморфизм полей частных.
Упражнения
§ 3. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
Простые и составные элементы области целостности.
Кольца главных идеалов.
Факториальность кольца главных идеалов.
Евклидовы кольца.
Упражнения
§ 4. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
Наименьшее общее кратное.
Упражнения
Глава четырнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ
Теорема о существовании простого трансцендентного расширения коммутативного кольца.
Степень полинома.
Деление полинома на двучлен и корни полинома.
Теорема о наибольшем возможном числе корней полинома в области целостности.
Алгебраическое и функциональное равенства полиномов.
Упражнения
§ 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ
Алгоритм Евклида.
Неприводимые над данным полем полиномы.
Разложение полинома в произведение нормированных неприводимых множителей.
Упражнения
§ 3. ФАКТОРИАЛЬНОСТЬ КОЛЬЦА ПОЛИНОМОВ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ
Факториальность кольца полиномов.
§ 4. ФОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОЛИНОМА. НЕПРИВОДИМЫЕ КРАТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Разложение полинома по степеням разности х – с.
Неприводимые кратные множители полинома.
Кратные корни полинома.
Упражнения
Глава пятнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Кольцо полиномов от нескольких переменных.
Изоморфизм колец полиномов.
Нормальное представление полинома и степень полинома.
Факториалыюсть кольца полиномов.
§ 2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
Лемма о высшем члене произведения двух полиномов.
Симметрические полиномы.
Леммы о симметрических полиномах.
Основная теорема о симметрических полиномах.
Упражнения
3. РЕЗУЛЬТАНТ ПОЛИНОМОВ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
Исключение переменных.
Глава шестнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Непрерывность модуля полинома.
Наименьшее значение модуля полинома.
Лемма Даламбера.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
Формулы Виета.
Упражнения
§ 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 3. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами.
Уравнения четвертой степени.
§ 4. ОТДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
Теорема Штурма.
Глава семнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
§ 1. ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ ПОЛИНОМА. КРИТЕРИЙ НЕПРИВОДИМОСТИ
§ 2. ПРОСТОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ
§ 3. СОСТАВНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ
§ 4. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ В КВАДРАТНЫХ РАДИКАЛАХ
ЛИТЕРАТУРА