Отношение эквивалентности.

Важным видом бинарного отношения является отношение эквивалентности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение на множестве называется отношением эквивалентности на А, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно (на ).

Отношение эквивалентности часто обозначают символами

Примеры. 1. Пусть — непустое множество и отношение тождества на множестве . Отношение есть отношение эквивалентности на .

2. Пусть — множество прямых на плоскости и

— отношение параллельности. Отношение параллельности на есть отношение эквивалентности.

3. Пусть Z — множество всех целых чисел и — целое число, отличное от нуля. Отношение

называется отношением сравнения по модулю . Это отношение является отношением эквивалентности на

4. Пусть A — множество направленных отрезков данной плоскости. Отношение эквиполентности направленных отрезков является отношением эквивалентности на A.

5. Отношение подобия на множестве треугольников данной плоскости есть отношение эквивалентности.

6. Два множества называются равномощными, если существует инъективное отображение одного множества на другое.

Отношение равномощности на любой данной совокупности множеств является отношением эквивалентности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть R — отношение эквивалентности на множестве А и Классом эквивалентности, порожденным элементом а, называется множество т. е. множество всех таких из А, что

Класс эквивалентности, порожденный элементом а, обозначается через или Совокупность всех классов эквивалентности отношения R на множестве А обозначается через или

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Любой элемент класса эквивалентности называется представителем этого класса. Полной системой представителей классов эквивалентности называется множество представителей всех классов, по одному из каждого класса.

В примере 1 классами эквивалентности являются одноэлементные подмножества . В примере 2 классы эквивалентности называются пучками параллельных прямых. В примере 3 классы эквивалентности называются классами вычетов по модулю и каждый класс состоит из всех тех чисел, которые при делении на дают один и тот же остаток. В примере 4 классы эквивалентности называются векторами плоскости. В примере 5 классы эквивалентности суть множества попарно подобных треугольников. В примере 6 классами эквивалентности являются классы равномощных множеств.