Приведенные ступенчатые матрицы.

При решении и исследовании системы линейных уравнений Еажную роль играют приведенные ступенчатые матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ступенчатая матрица называется приведенной, если матрица, составленная из всех ее основных столбцов, является единичной матрицей.

Приведенная ступенчатая матрица не имеет нулевых строк, и все ведущие элементы ее строк равны единице.

ТЕОРЕМА 3.4. Любая ненулевая матрица строчечно эквивалентна приведенной ступенчатой матрице.

Доказательство. Пусть — ненулевая матрица ранга . По теоремам 3.2 и 3.3, она строчечно эквивалентна ступенчатой матрице, например матрице В, состоящей из ненулевых строк. Разделим каждую строку матрицы В на ее ведущий элемент.

В результате получим ступенчатую матрицу С, у которой все ведущие элементы строк равны единице. Далее, при помощи цепочки строчечных элементарных преобразований матрицы С обращаем в нуль все ненулевые элементы, расположенные над ведущими элементами. В результате получим матрицу D, основные столбцы которой образуют единичную матрицу. Следовательно, D есть искомая приведенная ступенчатая матрица, строчечно эквивалентная исходной матрице А.

ТЕОРЕМА 3.5. Всякая квадратная -матрица с линейно независимыми строками строчечно эквивалентна единичной -матрице Е.

Доказательство. Пусть А — -матрица с линейно независимыми строками. При помощи цепочки неособенных элементарных строчечных преобразований ее можно привести к некоторой ступенчатой -матрице Пусть — ведущие элементы матрицы С. Тогда

Из неравенств (2) следует, что Поэтому матрица С имеет вид

т. е. является верхнетреугольной матрицей с ненулевыми элементами на главной диагонали. Умножим первую строку матрицы на вторую — на и т. д. В результате получим строчечно эквивалентную матрицу

Легко видеть, что матрица С строчечно эквивалентна единичной -матрице Е. Таким образом, существует цепочка (неособенных) строчечных элементарных преобразований, которая переводит матрицу А в единичную матрицу Е.