§ 6. ТЕОРЕМЫ О МАТРИЦАХ. ПРАВИЛО КРАМЕРА
Теорема о ранге матрицы.
Рассмотрим связь ранга матрицы с порядками ее ненулевых миноров.
ТЕОРЕМА 6.1. Ранг ненулевой матрицы равен наибольшему из порядков ненулевых миноров матрицы.
Доказательство. Пусть А — ненулевая матрица и 
. Тогда ее ранг 
Докажем, что матрица А имеет хотя бы один ненулевой минор порядка
Так как 
, то матрица А имеет 
линейно независимых строк. Пусть В — подматрица матрицы А, состоящая из 
линейно независимых строк матрицы А, т.е. 
. Из равенства 
следует, что матрица В имеет 
линейно независимых столбцов. Пусть С — подматрица матрицы В, состоящая из 
линейно независимых столбцов матрицы В, тогда 
По теореме 
так как столбцы матрицы С линейно независимы. Таким образом, 
есть ненулевой минор порядка 
матрицы А.
Легко проверить, что при 
равен нулю любой минор порядка k матрицы А. В самом деле, при 
линейно зависимы любые k строк матрицы А. Поэтому линейно зависимы строки любой квадратной 
подматрицы матрицы А. Следовательно, по теореме 5.9, равен нулю любой минор порядка k матрицы А.
Обратная матрица. Пусть 
и 
— алгебраическое дополнение элемента 
Присоединенной для матрицы А называется матрица
В силу теорем 5.3 и 5.4
поэтому
Аналогичные вычисления приводят к равенствам 
Равенства (1) и (2) показывают, что матрицы 
взаимно обратны. Таким образом доказана следующая теорема.
ТЕОРЕМА 6.2. Если определитель квадратной матрицы А отличен от нуля, то матрица А обратима и 
