Упражнения
1. Найдите на плоскости точки, изображающие комплексные числа
2. Пусть даны положительное действительное число а и комплексное число с. Найдите множество точек плоскости, которые изображают комплексные числа
, удовлетворяющие условиям:
3. Решите уравнения:
4. Покажите, что для любых комплексных чисел гг и
выполняется равенство
Выясните геометрический смысл этого равенства
5. Решите систему уравнений:
6. Решите уравнения (в поле комплексных чисел):
7. Докажите, что в поле комплексных чисел имеется только один отличный от тождественного автоморфизм, переводящий действительные числа снова в действительные.
8. Докажите, что каждое числовое кольцо содержит подкольцо целых чисел.
9. Пусть
-множество всех квадратных матриц второго порядка вида
с действительными а и b. Докажите, что алгебра
типа (2, 1, 2, 0), где
суть обычные операции над матрицами и есть поле, изоморфное полю комплексных чисел.
10. Пусть К — множество всех комплексных чисел вида
с целыми тип. Покажите, что алгебра
является областью целостности (целостным кольцом). Это кольцо называется кольцом целых гауссовых чисел.
11. Опишите подполе поля комплексных чисел, порожденное числом i и рациональными числами.