Лемма Даламбера.
Доказательство теоремы 1.7 в значительной мере основано на следующей лемме, называемой леммой Даламбера.
ЛЕММА 1.6. Пусть
— полином положительной степени над полем комплексных чисел и
. Если
, то существует такое комплексное число с, что
Доказательство. Пусть
— полином степени
. Разложим f по степеням разности
:
Положим
и
Пусть
— ненулевой коэффициент полинома g о наименьшим положительным индексом
тогда
Определим
Тогда равенство (3) можно записать в виде
В силу
Обозначим через d какой-либо корень
степени из числа
:
Рассмотрим в (5) значения z вида
В силу (5) и (6) получаем равенства
На основании (4) заключаем, что
и
Положим теперь
Отметим, что при
поскольку
и d отличны от нуля.
Из (8) и (9) вытекает неравенство
Если
удовлетворяет условиям
то
. А так как
и в силу
, то