Глава одиннадцатая. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Идеалы кольца целых чисел.
Введем понятие идеала.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество I целых чисел называется идеалом кольца 
целых чисел, если оно замкнуто относительно сложения и умножения на любые целые числа, т. е. 
для любых a, b I и любого 
Из определения следует, что любой идеал I замкнут относительно вычитания и, следовательно, содержит число нуль.
Пусть 
— любое фиксированное целое число. Легко проверить, что множество 
является идеалом кольца 
Такой идеал называется главным идеалом, порожденным числом п. Идеал 
состоит только из нуля и называется нулевым идеалом. Легко видеть, что 
Идеал, порожденный числом 
, обозначают также через 
.
ТЕОРЕМА 1.1. Каждый идеал кольца целых чисел является главным. Если I — ненулевой идеал кольца 
и d — наименьшее положительное число, содержащееся в I, то множество I состоит в точности из кратных числа d, т. е. 
Доказательство. Нулевой идеал, очевидно, есть главный идеал, порожденный нулем. Пусть 
— ненулевой идеал, т. е. он содержит хотя бы одно отличное от нуля число а. Тогда а, 
и одно из этих чисел положительно. Пусть d — наименьшее положительное число, содержащееся в I. Идеал 
содержит все кратные числа d, т. е. 
. Надо еще показать, что каждое число с из 
есть кратное числа d. Для этого разделим с на d с остатком:
принадлежат идеалу 
то 
Случай 
невозможен, так как d является наименьшим положительным числом, содержащимся в 
Следовательно, 
Таким образом, идеал 
состоит в точности из кратных числа d, 