Глава одиннадцатая. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Идеалы кольца целых чисел.

Введем понятие идеала.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество I целых чисел называется идеалом кольца целых чисел, если оно замкнуто относительно сложения и умножения на любые целые числа, т. е. для любых a, b I и любого

Из определения следует, что любой идеал I замкнут относительно вычитания и, следовательно, содержит число нуль.

Пусть — любое фиксированное целое число. Легко проверить, что множество является идеалом кольца Такой идеал называется главным идеалом, порожденным числом п. Идеал состоит только из нуля и называется нулевым идеалом. Легко видеть, что Идеал, порожденный числом , обозначают также через .

ТЕОРЕМА 1.1. Каждый идеал кольца целых чисел является главным. Если I — ненулевой идеал кольца и d — наименьшее положительное число, содержащееся в I, то множество I состоит в точности из кратных числа d, т. е.

Доказательство. Нулевой идеал, очевидно, есть главный идеал, порожденный нулем. Пусть — ненулевой идеал, т. е. он содержит хотя бы одно отличное от нуля число а. Тогда а, и одно из этих чисел положительно. Пусть d — наименьшее положительное число, содержащееся в I. Идеал содержит все кратные числа d, т. е. . Надо еще показать, что каждое число с из есть кратное числа d. Для этого разделим с на d с остатком:

Так как с и принадлежат идеалу то Случай невозможен, так как d является наименьшим положительным числом, содержащимся в Следовательно, Таким образом, идеал состоит в точности из кратных числа d,