Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры.

Пусть и — линейные алгебры над полем Отображение алгебры на алгебру называется изоморфизмом, если оно инъективно и сохраняет главные операции алгебры , т. е.

для любых и любого . Алгебры и называют изоморфными, если существует изоморфизм алгебры на алгебру

Легко проверить, что отношение изоморфизма на какой-либо совокупности алгебр над полем есть отношение эквивалентности.

Пример. Алгебра комплексных чисел

изоморфна алгебре всех матриц вида

При этом соответствие

устанавливает изоморфизм рассматриваемых линейных алгебр.

Обозначим через полную матричную алгебру над

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть — конечномерное векторное пространство над полем с фиксированным базисом Отображение, ставящее в соответствие каждому линейному оператору пространства его матрицу относительно фиксированного базиса, является изоморфизмом алгебры линейных операторов на полную матричную алгебру

Доказательство. Соответствие есть отображение множества на множество их -матриц. В силу теоремы 2.1 это отображение биективно. Кроме того, оно сохраняет все главные операции алгебры т. е.

для любых и любого Равенства (1) и (2) были доказаны в предыдущем параграфе.

Докажем равенство (3). Пусть . Тогда и, по теореме 2.3,

Таким образом, для любого вектора

Согласно теореме 2.4, отсюда следует равенство (3).

Следовательно, рассматриваемое отображение является изоморфизмом алгебры на алгебру