Упражнения
1. Пусть
— упорядоченное поле и
Докажите, что тогда:
(g) если хотя бы одно из чисел
с отлично от нуля, то
2. Пусть а, b — элементы упорядоченного поля
Докажите, что в
существует такой элемент с, что а С с с b.
3. Докажите, что уравнение
не имеет решений в поле рациональных чисел.
4. Докажите, что для любого положительного действительного числа а уравнение
имеет решение в поле действительных чисел.
5. Покажите, что уравнение
не имеет решений в поле действительных чисел.
6. Пусть
— множество всех положительных действительных чисел. Докажите, что алгебра
является группой; она называется мультипликативной группой положительных действительных чисел.
7. Пусть a, b, с и d — положительные действительные числа. Докажите, что
тогда и только тогда, когда для любых целых положительных чисел
.
8. Докажите, что тождественное отображение является единственным изоморфизмом поля действительных чисел в себя.
9. Докажите, что алгебраическая система, изоморфная системе действительных чисел, является системой действительных чисел.
10. Пусть
— множество всех последовательностей рациональных чисел. Покажите, что алгебра
, где
где
для всякого натурального
является коммутативным кольцом.