Упражнения
1. Пусть 
— упорядоченное поле и 
Докажите, что тогда:
(g) если хотя бы одно из чисел 
с отлично от нуля, то 
2. Пусть а, b — элементы упорядоченного поля 
Докажите, что в 
существует такой элемент с, что а С с с b.
3. Докажите, что уравнение 
не имеет решений в поле рациональных чисел.
4. Докажите, что для любого положительного действительного числа а уравнение 
имеет решение в поле действительных чисел.
5. Покажите, что уравнение 
не имеет решений в поле действительных чисел.
6. Пусть 
— множество всех положительных действительных чисел. Докажите, что алгебра 
является группой; она называется мультипликативной группой положительных действительных чисел.
7. Пусть a, b, с и d — положительные действительные числа. Докажите, что 
тогда и только тогда, когда для любых целых положительных чисел 
.
8. Докажите, что тождественное отображение является единственным изоморфизмом поля действительных чисел в себя.
9. Докажите, что алгебраическая система, изоморфная системе действительных чисел, является системой действительных чисел.
10. Пусть 
— множество всех последовательностей рациональных чисел. Покажите, что алгебра 
, где
где 
для всякого натурального 
является коммутативным кольцом.
- множество всех фундаментальных последовательностей над полем 
. Покажите, что 
замкнуто в кольце всех последовательностей рациональных чисел и алгебра 
является коммутативным кольцом.
означает, что последовательность 
сходится к нулю. Докажите, что:
множестве 
есть отношение эквивалентности;
является отношением конгруэнтности в кольце 
для всех 
и последовательность 
не сходится к нулю, то
по отношению конгруэнтности является полем.
-множество 
Докажите, что система 
есть архимедовски упорядоченное поле.
всякая фундаментальная последовательность элементов множества F сходится к элементу из 