Двучленные сравнения.
Двучленным сравнением называется сравнение вида
где степень
положительна. Если
— простое число, то сравнение (1) равносильно сравнению
Для того чтобы сравнение (2) было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы число
делило разность
. Если это условие выполнено, то сравнение (2) имеет d решений по модулю
следовательно, сравнение (1) имеет точно d решений по модулю
.
Пример. Решим сравнение
Сравнение (2) в этом случае имеет вид
Последнее сравнение совместно, так как (8,12) делит 4, и имеет следующие четыре решения:
Поэтому сравнение (3) имеет четыре решения:
Двучленное сравнение (1) можно свести к более простому, умножив обе части сравнения на число а, обратное к а по модулю
. Умножив, получим
. Таким образом, любое двучленное сравнение можно привести к простейшему виду:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число а называется k-степенным вычетом по модулю
если сравнение
имеет хотя бы одно решение.
Пусть
— простое число и
ТЕОРЕМА 5.13. Для любого вычета а по простому модулю
равносильны следующие утверждения:
Доказательство.
. Пусть а есть
-степенной вычет; тогда существует вычет
взаимно простой с
, удовлетворяющий сравнению
.