Инъективные функции.
Среди функций, рассматриваемых в математике, большую роль играют инъективные функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция
называется инъективной, если для любых х, у (из
) из условия
следует, что
Другими словами, функция
инъективна, если для любых
из того, что
следует, что
В силу закона контрапозиции из определения следует, что функция
инъективна тогда и только тогда, когда для любых
, если
, то
, т. е. для различных аргументов функция
принимает различные значения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Инъективное отображение непустого множества А на себя называется подстановкой множества А или преобразованием множества А.
В частности, подстановкой является тождественное или единичное отображение (а множества А на себя, т. е. такое отображение, что
)
для каждого
из А.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.8. Если
— отображение из множества А в множество В, то
ТЕОРЕМА 3.9. Композиция любых двух инъективных функций является инъективной функцией.
Доказательство. Пусть
— инъективные функции. В силу инъективности
для любых
, если
то
Далее, в силу инъективности g для любых
, если
то
Поэтому для любых
, если
то
Следовательно, для любых
, если
то
Таким образом, функция
инъективна.
СЛЕДСТВИЕ 3.10. Композиция любых двух подстановок множества А есть подстановка множества А.
Это следствие непосредственно вытекает из теорем 3.4 и 3.9.
Пусть
— функция. Инверсия
функции
может не быть функцией. Так, например, если дана функция
где Z — множество всех целых чисел, то отношение
не является функцией, так как содержит пары (1,1) и
, Неодинаковыми первыми элементами и различными вторыми элементами.
Однако для функции
где
-множество всех целых неотрицательных чисел, инверсия
является функцией.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Если f и g — функции, то
Это предложение непосредственно следует из предложения 2.1 и теоремы 2.3.
СЛЕДСТВИЕ 3.12. Если f — отображение множества А на В и — функция, то
является отображением множества В на А.
ТЕОРЕМА 3.13. Инверсия функции f тогда и только тогда является функцией, когда функция f инъективна.
Доказательство. Отношение является функцией тогда и только тогда, когда для любых х, у, z, если
то
Это условие равносильно условию инъективности функции
для любых
, если
, то
Следовательно, отношение
является функцией тогда и только тогда, когда функция f инъективна.
СЛЕДСТВИЕ 3.14. Если f — инъективная функция, то — тоже инъективная функция. При этом если
инъективное отображение А на В, то есть инъективное отображение В на А.
ТЕОРЕМА 3.15. Пусть f, g, h — функции, удовлетворяющие условиям:
Тогда если функция f инъективна, то
Доказательство. Предположим, что функция
инъективна. В силу условий (1) и (2)
В силу инъективности f отсюда следует, что
для любого
из
. Кроме того, ввиду
Следовательно,