Глава II. ИЗЛУЧЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ

§ 8. Основные типы статистических волновых задач

Среди разнообразных случайных полей, с которыми имеет дело статистическая радиофизика, волновые поля занимают центральное место. Мы тоже сосредоточим внимание на волновых (в первую очередь электромагнитных) полях и ограничимся при этом только линейными и неквантовыми задачами . Весьма широкий класс таких задач можно сформулировать следующим образом.

Пусть распространение волн той или иной физической природы (электромагнитных, упругих, поверхностных и т. д.) описывается линейным пространственно-временным оператором L (обычно дифференциальным, реже — интегро-дифференциальным), так что волновое поле «удовлетворяет уравнению

где функция описывает источники волн. Поля u и q могут быть и многокомпонентными (в частности, векторными), и тогда -операторная матрица (в частности, тензор). Во многих задачах пространственная область, в которой рассматривается поле и, выделенная некоторой поверхностью , не содержит источников

а задано первичное волновое поле приходящее в эту область извне. Тогда уравнение (8.1) однородно:

но на заданы значения первичного поля (или его производных), например:

(Обычно в этом случае говорят, что на заданы «виртуальные» источники поля.) Искомым является здесь рвссеянное или дифракционное поле, т. е. это задачи теории дифракции.

При наличии внутри поверхности границ раздела между разными средами или телами (поверхности раздела S) поле и должно удовлетворять еще определенным граничным условиям. Если поверхность не замкнута или же охватывает все пространство, так что волны от реальных источников, расположенных в конечной области, могут уходить в бесконечность, то должны также выполняться известные условия излучения (на достаточно больших расстояниях от источников должны существовать только убегающие волны).

В задачах прикладного характера часто представляет интерес измерение излученного или дифракционного поля — для получения информации об источниках поля, о рассеивающих телах или о среде, в которой распространяются волны. Тогда в описанную схему может быть включеи еще приемник излучения, а также разного рода помехи как внешнего (по отношению к приемнику), так и внутреннего происхождения. Отклик приемника w будет зависеть и от измеряемого поля и, и от помех ?:

где w — в общем случае нелинейный оператор.

Все, что было сказано в ч. 1, § 33 об обыкновенных стохастических дифференциальных уравнениях, теперь, когда мы рассматриваем случайные поля, переносится на уравнения в частных производных. Статистические волновые задачи ставятся теми же уравнениями и условиями, что и динамические, но теперь это будут стохастические уравнения и условия, т. е. уравнения и условия для огйдельных реализаций случайного поля и. Другими словами, фигурирующие в задаче параметры, функции и операторы теперь случайны (все или их часть) и, соответственно, заданы своими распределениями вероятностей.

Поэтому гораздо большее разнообразие возможностей для пространственно-временных полей (по сравнению с процессами во времени) в равной мере затрагивает как динамические, так и статистические задачи.

В соответствии с описанной постановкой динамической волновой задачи случайными могут быть

1) источники поля (реальные или виртуальные, так что можно различать заданную «статистику источников» q и «статистику первичного поля» и):

2) свойства среды (задана «статистика среды», а значит, оператора );

3) форма и положение границ раздела S (задана «статистика границ»);

4) условия приема и регистрации волн (заданы «статистика приемника» — оператора w и «статистика помех» ).

К этим четырем основным статистическим схемам, которые мы назовем первичными, фактически сводится постановка подавляющего большинства задач статистической волновой теории. Конечно, возможны задачи и смешанного типа, например о тепловом излучении в случайно-неоднородной среде [11], но пока таких задач рассмотрено немного (краткий их обзор приведен в [12]).

Если бы мы располагали точным решением динамической задачи, например некоторым интегральным представлением искомого поля и в виде

где — решение неоднородного уравнения (8.1), записанное, скажем, через функцию Грина, учитывающую все граничные и другие условия, то вычисление моментов поля свелось бы к [усреднению произведений вида по совместному распределению всех фигурирующих в задаче случайных параметров и функций, характеризующих статистику источников, среды, граинц раздела и т. д. Но в реальных ситуациях этот идеал осуществляется не часто, например, в задачах о возбуждении полей случайными источниками, которые рассматриваются в дайной главе. Чаще же всего мы не умеем находить точное решение при любых детерминированных функциях и, тем самым, при произвольных реализациях всех случайных величин и функций, в силу чего приходится уже на этапе решения динамической задачи обращаться к разного рода приближенным методам. Зги разнообразные методы и приемы приурочены к конкретным особенностям задачи.

Флуктуации случайных параметров и функций могут быть (в каких-то характерных масштабах) большими и малыми, плавными,

медленными и, наоборот, резкими, быстрыми; корреляция может быть сильной, «далекой», или же слабой, «короткой», и т. п. Эти различия требуют использования разных приближенных подходов и приводят к многочисленным вторичным статистическим схемам, связанным уже с теми или иными приближенными методами решения.

Следует заметить, что во многих случаях, в особенности когда нас интересуют только моменты поля, этап отыскания динамического решения (для последующего вычисления моментов) опускается и речь идет о выводе уравнений и условий для самих моментов (исходя из уравнений и условий для поля и). Однако и в такой постановке практически нельзя обойтись без максимально возможного упрощения исходных уравнений для и, заранее учитывающего особенности флуктуаций и характер детерминированных функций.

Выделенные выше четыре первичные статистические схемы отражают лишь фактически часто встречающееся разделение параметров и функций, входящих в условия задачи, на детерминированные и случайные. Остановимся коротко на этих схемах и укажем некоторые примеры относящихся к ним задач.

В схеме 1), если присутствуют реальные источники, мы имеем дело с неоднородным уравнением (8.1), в котором статистически задана правая часть q. Однородные граничные условия детерминированы. Задач такого типа много и в радиофизике, и в оптике, и в акустике. Они охватывают, в частности, статистическую теорию антенн и теорию тепловых флуктуаций в распределенных системах.

С виртуальными случайными источниками мы сталкиваемся, очевидно, во всех задачах о дифракции случайных (иначе — частично когерентных) полей, когда однородное уравнение (8.2) и все необходимые условия детерминированы, за исключением случайного первичного поля . Такие задачи типичны прежде всего для оптики (формирование оптического и голографического изображений, действие интерферометров и др.), но с ними приходится иметь дело и в радиодиапазоке (в частности, в радиоастрономии), и при дифракции рентгеновских волн.

Задачи типа 1) мы рассмотрим в данной главе, но тепловые флуктуации в распределенных системах, ввиду важности и специфичности этого круга вопросов, мы выделяем в самостоятельную (следующую) главу.

Схема 2) охватывает проблему распространения и дифракции волн в случайно-неоднородных средах (случайный оператор L). Эти

вопросы представляют большой интерес для радиосвязи, лазер ной связи, гидроакустики, радиоастрономии, диагностики плазм! и т. п., и им уделена поэтому половина данной части книги.

К схеме 3) относятся волновые задачи при наличии тел имеющих случайную форму или занимающих случайное положи ние. Речь может идти, в частности, о граничных поверхностя: со множеством случайных неровностей (так называемые шеро ховатые или статистически неровные поверхности). Различны методы расчета, рассеяния волн на таких поверхностях рассмот рены в гл. IX.

В задачах о телах, занимающих случайное положение в про странстве, речь может идти о рассеянии как на одном из немногих телах, так и на очень большой совокупности дискретных вкраплений (осадки, туман, аэрозоли и т. п.). Последняя весьма общая задача требует, вообще говоря, учета многократ ного рассеяния. Мы ограничимся ее рассмотрением лишь в при ближении однократного рассеяния (§ 31).

Наконец, схема 4) охватывает многочисленные задачи прием; и обработки информации о волновых полях при наличии помех Если статистические свойства поля и, помех и оператора , описывающего приемник, известны, то, в соответствии с (8.4), в прин ципе можно рассчитать статистические характеристики отклик; приемника

Однако более важным и вместе с тем более сложным явля ется другой вопрос — о выборе оптимального (в каком-то опре деленном смысле) способа приема при наличии помех, т. е. вопрос о нахождении оптимального оператора w. Примером задачи такого типа может служить проблема восстановления форм! объекта по его изображению, представляющая первостепенный интерес для оптики, радиоастрономии, радиолокации, гидроакус тики и т. д. Эта проблема оптимального приема случайных поле] требует привлечения идей и методов теории информации — воз можно, даже в большей степени, чем вопросы обработки случайных процессов. Но, как и в ч. I, мы не будем углублятьс: в эти проблемы, поскольку они ближе по своему характер; к «радиоматематике», а не к радиофизике. Ряд вопросов опти мального приема и пространственной фильтрации рассматри вается в работах [13—20].