Глава IV. ТЕОРИЯ ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ ВОЛН

§ 24. Метод малых возмущений

В этой и последующих главах мы займемся флуктуациями волн, распространяющихся в случайно-неоднородных средах, т.е. по классификации § 8 задачами типа 2).

Случайные неоднородности реальных сред влияют на характеристики волн, распространяющихся в этих средах, и возникающие при этом явления чрезвычайно разнообразны. Мерцание звезд и флуктуации радиоизлучения от внеземных источников, замирания (федниги) радиоволн и релеевское рассеяние света, ушнренне лазерных пучков в тропосфере и рассеяние звука в море — это лишь немногие примеры наблюдаемых эффектов. Исследованием такого рода эффектов занимается статистическая теория распространения и рассеяния воли.

Задачи о распространении волн в средах с флуктуирующими параметрами решаются, как правило, приближенными методами. Дело в том, что соответствующие дифференциальные уравнения содержат в коэффициентах случайные функции точки (а возможно, и времени), описывающие неоднородную среду. Точное решение такой параметрической задачи означало бы, что мы в состоянии написать, например, функцию Грина для любых реализаций входящих в уравнения случайных функций, что практически никогда не осуществимо. Это и вынуждает обращаться к приближенным методам. Характер приближения зависит, разумеется, от постановки задачи — слабо или сильно флуктуируют параметры среды, каково соотношение между длиной волны и размерами неоднородностей, какова геометрия задачи (длина трассы, ширина волнового пучка) и т. д. При всем разнообразии конкретных

условий значительная часть задач типа 2) может быть решена при помощи небольшого числа разработанных к настоящему времени приближенных методов.

Нели относительные флуктуации параметров среды достаточно слабы, а рассеянное поле мало по сравнению с нолем первичной волны, то применяется метод малых возмущений. Анализ полей, рассчитанных в первом порядке теории возмущений, составляет содержание теории однократного рассеяния, которой и посвящена данная глава.

При нарушении условий применимости теории однократного рассеяния (флуктуации в среде недостаточно слабы, рассеянное поле не мало) необходимо принимать во внимание двух-, трех- и т. д. кратное рассеяние поля, т. е. нужно строить теорию с учетом многократного рассеяния волн. В случае слабых, но крупных (по сравнению с длиной волны) неоднородностей многократно рассеянные волны лишь незначительно уклоняются от направления распространения первичной волны. В таких условиях многократное рассеяние эффективно описывается методом геометрической оптики (МГО) и примыкающими к нему более общими коротко-волновыми асимптотическими методами теории дифракции — методом плавных возмущений (МПВ) и методом параболического уравнения (МПУ). Последние три метода мы рассмотрим в гл. V—VII.

Другая возможность учета многократного рассеяния волн основана на приближенном суммировании рядов теории возмущений (в основном при помощи методов, развитых первоначально в квантовой электродинамике). При таком подходе удается, в частности, рассмотреть не только слабые, но и сильные флуктуации среды. Однако при этом необходимо, чтобы неоднородности были мелкомасштабными. Элементы теории многократного рассеяния изложены в гл. VIII.

Начнем с простейшей постановки задачи: волновое поле и будем считать скалярным и монохроматическим (и ) а неоднородности среды — не меняющимися во времени и покоящимися). Хотя при скалярной постановке задачи не охвачена поляризация, она достаточна для ряда общеволновых явлений, таких, как интерференция и дифракция. К поляризационным эффектам в рассеянии электромагнитных волн мы обратимся в § 30.

При указанных выше условиях распространение волны в неоднородной среде описывается уравнением Гельмгольца

где волновое число в невозмущенной среде или в случае электрического ноля — в вакууме. Функцию в описывающую неоднородность среды, мы будем называть (диэлектрической) проницаемостью, имея в виду в основном электромагнитное поле. Для случайно-неоднородной среды проницаемость в можно представить в виде

где — среднее (но ансамблю реализаций среды) значение флуктуации проницаемости. Уравнение Гельмгольца принимает при этом вид

Общих методов решения даже такого простого волнового уравнения не существует. Наиболее распространенным из приближенных методов является метод возмущений: флуктуации считаются достаточно слабыми, а волновое поле и ищется в виде ряда по степеням или, что то же — степеням Чтобы построить такой ряд, удобно перейти от дифференциального уравнения (24.3) к эквивалентному интегральному уравнению.

Пусть — поле первичной волны, удовлетворяющее невозмущенному уравнению Гельмгольца, т. е. уравнению (24.3) при

Обозначим через невозмущенную функцию Грнна, которая удовлетворяет уравнению для точечного источника

Разумеется, первичное поле и функция Грина G удовлетворяют необходимым граничным условиям. Решение неоднородного уравнения

выражается через функцию Грина следующим образом:

Записав исходное уравнение (24.3) в форме

и используя (24.6), получаем следующее интегральное уравнение для волнового поля:

где интегрирование распространяется, очевидно, на область V, занятую неоднородностями . Уравнение (24.8) эквивалентно исходному дифференциальному уравнению (24.3), но учитывает (через функцию G) и все граничные условия задачи.

Ряд теории возмущений строится путем итерирования интегрального уравнения (24.8). Чтобы получить первую итерацию, запишем значение поля в точке :

и подставим это выражение в правую часть (24.8). Это дает

Записав значение поля к в точке и подставив его в правую часть (24.9), получим вторую итерацию. Повторяя такую операцию, мы и получим бесконечный ряд теории возмущений:

    (24.10)

В математике этот ряд называется рядом Неймана для интегрального уравнения (24.8), а в физике — борновским разложением.

Первый член борновского ряда (24.10) — первичное поле Второе слагаемое,

    (24.11)

описывает однократно рассеянное поле. Оно порождено непосредственно первичным полем и линейно относительно возмущений . Третье слагаемое в (24.10) можно представить в форме, аналогичной (24.11):

    (24.12)

Это — двукратно рассеянное поле, порожденное уже не первичным, а однократно рассеянным полем. Двукратно рассеянное поле в свою очередь возбуждает трехкратно рассеянные волны и т. д. Таким образом, ряд теории возмущений (24.10) представляет собой разложение рассеянного поля по кратности рассеяния:

    (24.13)

Из самого способа построения этого ряда видно, что его член, описывающий -кратное рассеяние, содержит под знаком -кратного интеграла произведение Отсюда следует, что для вычисления даже среднего значения поля и надо знать для моменты любого порядка. При произвольной статистике нахождение таких моментов само но себе представляет сложную задачу, но если даже она и разрешима (как, например, в случае нормального распределении), то остается еще открытым вопрос о методах суммирования усредненных рядов теории возмущений. В общей постановке этот вопрос будет освещен в гл. VIII. Здесь же, как сказано, мы ограничимся более простой задачей нахождения статистических характеристик поля в приближении однократного рассеяния (так называемое первое борцовское или, чаще, просто борновское приближение).

В этом приближении флуктуации предполагаются настолько малыми, что в разложении (24.13) можно ограничиться первым членом их. С выражениями такого типа мы уже встречались при рассмотрении возбуждения полей случайными источниками. В данном случае в качестве заданных источников выступает правая часть уравнения (24.7) с на вместо и: Таким образом, в приближении однократного рассеяния задача о распространении волн в случайно-неоднородных средах (задача типа ) сводится к задаче типа 1) — возбуждению полей заданными случайными источниками.

Согласно (24.11) рассеянное поле является линейным функционалом от флуктуаций . Поэтому и все моменты поля и, линейно же выражаются через моменты того же порядка. В частности, у однократно рассеянного поля среднее значение равно нулю, поскольку а корреляционная функция линейно выражается через функцию

корреляции неоднородностей

    (24.14)

Выражение (24.14) и аналогичные квадратуры для высших моментов рассеянного поля в принципе дают полное статистическое решение задачи в рассматриваемом борновском приближении. Однако этот математический результат еще нуждается в физическом истолковании.