§ 16. Корреляция сторонних тепловых источников в электродинамике

Вернемся к спектральным уравнениям Максвелла (14.6), исключив из них при помощи материальных уравнений (14.7) индукции D и В:

Состояние рассматриваемой системы — флуктуационного электромагнитного поля — описывается -вектором напряженностей . Каков при этом -вектор сопряженных с по Лагранжу сторонних сил

Согласно общему выражению (15.13) средняя диссипируемая мощность равна (со знаком минус) сумме произведений координат на скорости изменения сил. Сопоставляя с (15.13) формулу (14.5), нетрудно усмотреть, что [сторонние токи не являются сопряженными «силами» для «координат» . Если же воспользоваться сторонними индукциями и подставить в (14.5) выражения (14.4), то мы получим Для формулу как раз вида (15.13):

Таким образом, для напряженностей — «силами» являются величины и общие формулы (15.14а, б), выражающие ФДТ, следует применять именно к таким и

Разумеется, получив корреляционную матрицу для спектральных амплитуд сторонних индукций , мы тотчас же сможем написать такую матрицу и для спектральных амплитуд

сторонних токов, поскольку, в силу (14.4),

Подставив (16.2) в (16.1), запишем уравнения (16.1) в компонентах:

где , а знак обозначает круговую перестановку индексов 1, 2, 3. Сопоставление этих шести уравнений со второй группой уравнений (15.12), где, как мы помним, надо положить

дает нам матрицу операторов

Транспонированная комплексно сопряженная матрица, зависящая от v, будет

Учитывая, что (поскольку операторы действуют на функцию от ), получаем

Наконец, подстановка этого результата в формулу (15.146), выражающую ФДТ для ланжеосновских сил, даст нам корреляционные функции сторонних индукций О и

В более общем случае анизотропной или гиротропной среды, описываемой тензорами проницаемостей мы получили бы те же формулы (16.3), но с заменой диагональных тензоров на и на

Пользуясь (16.2) и (16.3), нетрудно написать корреляционные функции сторонних токов. Мы приведем эти функции сразу для случая анизотропной среды 1):

Меиее формальный вывод этих формул дан в задаче 2.

Итак, электрические и магнитные источники флуктуационного поля пространственно не корродированы между собой, а радиус пространственной корреляции тех и других порознь равен нулю (дельта-функция ). Для сред без пространственной дисперсии, которыми мы здесь и ограничиваемся, этот последний результат представляется очевидным. Действительно, фактический радиус корреляции источников теплового поля В таких средах может быть только микровеличиной (порядка, например, межатомных расстояний), и поэтому в макроскопической теории, рассматривающей среду как сплошную, он и должен быть равен нулю. Напротив, в средах с пространственной дисперсией материальные уравнения нелокальны не только но и по , т. е. вместо (14.2) будут уравнения, содержащие операторы как по t, так и по . Это приводит к

отличному от нуля радиусу корреляции источников флуктуационного поля, имеющему тот же порядок величины, что и размер области нелокальности в материальных уравнениях (см. [6], § 4).

Для кусочно-однородных сред, т. е. при наличии резких границ раздела между средами, формулы (16.3) и (16.4) справедливы (из-за дельта-корреляции) вплоть до самых границ раздела. При наличии же пространственной нелокальности положение меняется: вблизи от границ раздела, а именно в слое, толщина которого порядка радиуса корреляции, поля сторонних источников неоднородны (их корреляционные функции зависят от в отдельности, а не от разности ) и анизотропны даже в том случае, когда сама среда изотропна.

Мы смогли, используя теорему (15.146), сразу написать корреляционные функции источников флуктуационного поля только потому, что входящие в (15.146) операторы нам известны из самих уравнений Максвелла. Иначе обстоит дело с корреляцией «координат», т. е. напряженностей флуктуационного электромагнитного поля Е и Н. Для того чтобы написать корреляционные функции Е и Н, надо, согласно (15.14а), знать обратные операторы , т. е. надо «обернуть» уравнения Максвелла, выразив Е и Н через и (или ). Другими словами, надо решить неоднородные уравнения Максвелла, считая распределение источников произвольным, но заданным и налагая граничные условия, отвечающие дайной конкретной задаче.

Если краевая задача решена, то тем самым мы получаем операторы (обычно в виде интегралов, распространенных на области пространства, в которых сторонние токи отличны от нуля) и можем воспользоваться тогда «готовой» теоремой (15.14а). Можно поступить и иначе: составить из полученных решений для Е и Н интересующие пас билинейные комбинации и усреднить их. Под кратные интегралы, выражающие вторые моменты напряженностей, войдут при этом корреляционные функции сторонних токов вместо которых надо будет подставить уже полученные выражения (16.4). Оба способа вполне правомерны, и ряд флуктуационных электродинамических задач был решен именно таким путем [1, 7, 8].

Однако в обоих указанных вариантах это трудоемкий и неэкономный путь, так как для каждой конкретной задачи его надо проделывать заново. Попытаемся поэтому выяснить, к чему приводит ФДТ, если применить ее к решению уравнений Максвелла, записанному в общей интегральной форме — через функции Грина.