§ 23. Тепловое поле в среде с пространственной дисперсией

До сих пор мы ограничивались материальными уравнениями (14.2), описывающими среду (вообще говоря, неоднородную) и отсутствие пространственной дисперсии: индукции D и В в точке зависели от свойств и предыстории как среды (от ), так и поля (напряженностей Е и Н) только в той же точке . Если же состояние среды в точке зависит от предыстории (в чем заключается временная нелокальность) не только в этой же точке, но и в некоторой ее окрестности (пространственная нелокальность), то материальные уравнения надо брать более общего вида:

Зависимость ядер в и от разности отражает стационарность интересующих нас процессов, т. е. предполагает неизменность свойств среды во времени (если бы среда менялась во времени, то зависели бы от t и i порознь). Зависимость от отвечает пространственно неоднородной среде. В однородной среде ядра зависят только от разности Если область пространственной нелокальности стягивается в точку, то

и аналогично для . Материальные уравнения (23.1) тотчас же переходят при этом в локальные уравнения

В (23.1), как и в (14.2), имеются в виду изотропная и негирогропная среды. Для анизотропной или гиротропной среды соотношение между D и Е устанавливается тензором диэлектрической

ческой проницаемости , так что первое уравнение (23.1) заменяется на

    (23.2а)

Что касается второго уравнения (23.1), то из общих соображений следует, что введение еще одного тензора было бы излишним. Дело в том, что при введении мы описываем состояние среды поляризацией Р и намагничением М, разбивая для этого индуцированные в среде токи и заряды на «сорта» (связанные и свободные заряды с соответствующими поляризационным током и током проводимости, а кроме того, молекулярные амперовы токи). Но в нелокальной среде проще и естественнее включить в D все виды наведенного тока, так что

    (23.26)

а для D справедливо материальное уравнение (23.2а). Конечно, определения (т. е. их связь с микрополями и микротоками) при этом иные, чем в (23.1), так что при отсутствии пространственной дисперсии уравнения (23.2а, б) не переходят и (23.1).

Возможность полного описания среды материальными уравнениями (23.2а, б) показывает, что достаточно одного тензора при (подробней см. [8. 14]). Заметим, что в толще нелокальной среды, даже если она однородна и изотропна, тензор в (23.2 а) не вырождается в диагональный, а имеет общий для данного случая вид:

где , т. е. содержит две независимые скалярные функции в, и — поперечную и продольную (по отношению к ) диэлектрические проницаемости. Отсюда ясно, что для однородной и изотропной нелокальной среды допустимы материальные уравнения и вида (23.1), поскольку в них тоже фигурируют только две независимые скалярные функции связи между мы скажем несколько дальше.

Выше мы не случайно подчеркнули, что выражение (23.3) для относится к толще среды, т. е. к областям, достаточно удаленным от ее границ. При приближении к границе среды не может оставаться функцией только разности так как направление по нормали к границе становится выделенным. Иначе говоря, прилегающий к границе слой с толщиной

порядка радиуса нелокальности неоднороден и анизотропен по своим электродинамическим свойствам. Это в особой степени усложняет электродинамическую часть задачи, т. е. нахождение вспомогательных дифракционных полей (функций Грииа) или же плотности их джоулевых потерь, если необходимо учитывать и указанный приграничный слой. Что же касается собственно флуктуационной частя задачи, то в неб все обстоит так же, как и в случае локальных сред, поскольку и обобщенный закон Кирхгофа (17.11)-(17.13), и равновесная форма ФДТ (21.5) — (21.7) справедливы при любой форме материальных уравнений.

Мы ограничимся далее простейшим случаем однородной и изотропной нелокальной среды, причем среды неограниченной, когда во всем пространстве можно пользоваться как в форме (23.3), так и скалярами . Целесообразно при этом перейти к трансформантам Фурье как по , так и по

и аналогично для . Такое же преобразование Фурье для тензора содержит под интегралом трансформанту

где — поперечная и продольная (по отношению к к) проницаемости, конечно, не являющиеся преобразованиями Фурье от в (23.3). Связь скалярных функций ) с функциями очень проста [8]:

Вторая из этих формул показывает, что не может обращаться в нуль.

Целесообразность использования при указанных условиях пространственно-временных трансформант Фурье (-амплитуд) или пространственных трансформант Фурье от спектральных амплитуд, вытекает из того, что при этом все линейные уравнения для полей превращаются в алгебраические линейные уравнения для их -амплитуд. В частности, уравнения Максвелла (14.6), если мы полагаем

и аналогично для Н, индукций D, В и сторонних токов принимают для -амплитуд следующий вид (аргументы мы для краткости опускаем):

а материальные уравнения для -амплитуд, полученные из (23.1) с учетом (23.4) и (23.7) (среда однородна!), сводятся к соотношениям

Наличие пространственной дисперсии отражено в том, что и и зависят от (для изотропной среды они зависят только от ).

Алгебраическую форму принимает и ФДТ. В общем случае многомерного флуктуационного поля и сопряженного по Лагранжу силового поля операторные уравнения (15.12) переходят для спектральных амплитуд в результате пространственного преобразования Фурье в алгебраические уравнения

    (23.10)

а вытекающие из ФДТ выражения для корреляционных матриц -амплитуд и имеют вид (см. задачу 6)

    (23.11)

где - -плотности. Преобразование Фурье этих плотностей по дает, конечно, спектральные плотности. Например,

    (23.13)

Применим равенство (23.11) к уравнениям Максвелла (23.8). Исключив при помощи материальных уравнений (23.9) индукции D и В, получаем

    (23.14)

Для того чтобы воспользоваться формулой (23.11), надо разрешить эти уравнения относительно Е и Н. Детерминант уравнений (23.14) равен , где

    (23.15)

Пусть среда однородна. Так как не может обращаться в нуль, дисперсионное уравнение распадается на два: либо (продольные волны), либо (поперечные волны). Решение уравнений (23.14) есть

или в компонентах

    (23.16)

где

Здесь - полностью антисимметричный единичный тензор третьего ранга , а по дважды входящему в (23.16) индексу , конечно, производится суммирование. Заметим, что в снлу (23.15)

Поэтому элементы диагональных квадратов матрицы (23.17) можно записать и в другом виде:

Согласно § 16 величины являются для полей Е и Н обобщенными силами, так что введенные в (23.16) коэффициенты А — это именно те коэффициенты которые входят в формулу (23.11). Применяя эту формулу, получаем для -плотностей и т. д. следующие выражения:

    (23-186)

Из (23.18в) мы видим, что, в отличие от сторонних токов j, и компоненты Е и Н взаимно коррелированы, но только их ортогональные компоненты, так как при Первые члены в формулах (23.18а, б), содержащие в знаменателях , определяют корреляцию поперечного (по отношению к ) поля, т. е. напряженностей а вторые члены — корреляцию продольного поля и аналогично для Между собой поперечные и продольные напряженности не коррелированы (в силу чего ).

Остановимся в заключение настоящего параграфа на флуктуациях полного тока в среде, под которым понимается ток, состоящий из всех «видов» электрического тока, за исключением вакуумного тока смещения. В рамках микроскопической теории полный ток — это сумма конвекционных токов, обусловленных движением любых (не подразделяемых на «виды») микрозарядов, усредненная по физически бесконечно малым объемам среды. При таком усреднении лоренцевых уравнений для микрополей мы получаем для (волнистая черта — усреднение по физически бесконечно малому объему) макроскопические уравнения следующего вида:

Здесь через обозначена объемная плотность полного тока, а штрих над В поставлен для того, чтобы не смешивать эту магнитную индукцию, включающую и стороннюю магнитную индукцию, с индукцией В в уравнениях (14.3), в которых сторонний магнитный ток выделен. Объемные плотности полного заряда и полного тока связаны, конечно, уравнением непрерывности

    (23.20)

Именно эти полные плотности представляют интерес в ряде задач, в частности, в задачах о флуктуациях в плазме.

Установим прежде всего связь величии В и с величинами, фигурирующими в стандартной симметричной форме уравнений Максвелла. Запишем уравнения (23.19) и (23.20) для -амплитуд:

    (23.21)

Сопоставление вторых уравнений (23.21) и (23.8) показывает, что силу чего первое уравнение (23.21) принимает вид

Вычитая отсюда первое уравнение (23.8), получаем

    (23.23)

Отсюда непосредственно видно, что полный ток слагается из стороннего электрического тока (первый члеи), наведенного поляризационного тока (второй член, включающий, конечно, и ток нроводимости) и электрических токов, обусловленных сторонним Магнитным током (третий член) и наведенным намагничением (последний член, включающий и магнитную проводимость).

Нетрудно записать полный ток в функции только электрической напряженности Е. Для этого достаточно подставить в (23.23) вытекающие из (23.8) выражения для сторонних токов и . Это дает

или в компонентах

Следонательно, -плотности полного тока и электрической напряженности Е связаны соотношением

Подставке сюда выражение (23.18а) для и выполнив суммирование по дважды входящим в правую часть индексам

находим

Для -плотности флуктуаций полного заряда единицы объема среды, в соответствии с уравнением непрерывности (23.22) и результатом (23.24), получаем

В флуктуации полного тока (23.24) вносят вклад как поперечные, так и продольные волны, но флуктуации объемной плотности полного заряда (23.25) связаны только с продольными волнами: в знаменателе выражения для содержится только не входит. Множитель в (23.25) подчеркивает большую роль мелкомасштабных флуктуаций. Из-за того, что в однородной среде е — функция только преобразование Фурье (23.13), дающее спектральную плотность флуктуаций, принимает для заряда вид

    (23.26)

В задаче 7 формулы (23.24) и (23.25) применены к простой модели среды, обладающей пространственной дисперсией и представляющей интерес для описания флуктуаций в ионосферной плазме.

Сделаем несколько дополнительных замечаний в заключение этой главы.

В § 20 мы отметили, что теория случайных полей, обусловленных равновесными тепловыми флуктуациями, относится к статистической схеме 1), т. е. имеет дело с задачами, в которых известна статистика случайных источников поля. Тем не менее мы выделили тепловые поля в отдельную главу, указав не только на их важность, но и на специфичность. Последняя заключается именно в том, что в данном круге задач статистика источников не задается извне, а определяется самими динамическими уравнениями задачи. Говоря точнее, функции корреляции сторонних (ланжевековских) сил определены антиэрмитовыми частями тех детерминированных линейных операторов, через которые записываются динамические уравнения. В этом и состоит флуктуационно-диссипационная теорема (§ 15).

Если же речь идет о существенно неравновесных тепловых флуктуациях или вообще о полях нетеплового происхождения, то статистика источников обычно не определена видом самих уравнений, а должна быть задана — либо формально, либо на основе статистического исследования микроскопических моделей.

Другое замечание касается универсальности различных форм ФДТ. Мы рассматривали в этой главе электромагнитные тепловые поля, хотя опирались на ФДТ, которая применима к равновесным тепловым флуктуациям любой физической природы (§ 15). Для электромагнитных полей были получены другие формы ФДТ — кирхгофовская (§§ 17, 18), волноводная (§ 19), равновесная (§ 21), более прозрачные физически, более «экономные» по процедуре решения конкретных задач и обладающие более широкими возможностями в отношении охвата задач, поддающихся решению. Естественно возникает вопрос о том, являются ли эти формы ФДТ столь же физически универсальными, как и исходная «каноническая» ее форма (15.14).

Все, что нам понадобилось учесть в электродинамике для получения указанных форм ФДТ, сводится к электродинамической теореме взаимности (17.2) или (22.1) и комплексной лемме Лоренца (21.2). Можно поэтому ожидать, что для любых равновесных (и квазиравновесных) флуктуационных полей, для которых справедливы теорема взаимности и аналог леммы Лоренца, будут верны и перечисленные формы ФДТ. Анализ этого вопроса показывает, что дело обстоит именно так [15], и отсюда вытекает ряд интересных следствий.

Например, кирхгофовская форма ФДТ и, в частности, формула (18.15) полностью справедливы для акустических волн. Тепловые потери обусловлены здесь вязкостью и теплопроводностью среды. Представим себе, что тело, обладающее такими потерями, погружено в «прозрачную» жидкость, т. е. жидкость с малым поглощением продольных волн. Послав на тело плоскую волну частоты со (скажем, в звуковом или ультразвуковом диапазоне), мы можем найти эффективный поперечник поглощения тела (при данной ориентации тела). Формула (18.15), в которой можно, конечно, положить определяет тогда поток энергии продольных волн частоты излучаемых телом в телесный угол в направлении, противоположном направлению прихода вспомогательной плоской волны. Хотя физический механизм тепловых флуктуаций в теле (флуктуаций плотности, температуры, скоростей макрочастиц) совершенно иной, чем в электродинамике, «вызвучивание» нагретого тела в окружающую «прозрачную» среду происходит по такому же закону, как и «высвечивание» на электромагнитных волнах, а именно по закону Кирхгофа.