Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 23. Тепловое поле в среде с пространственной дисперсиейДо сих пор мы ограничивались материальными уравнениями (14.2), описывающими среду (вообще говоря, неоднородную) и отсутствие пространственной дисперсии: индукции D и В в точке
Зависимость ядер в и
и аналогично для В (23.1), как и в (14.2), имеются в виду изотропная и негирогропная среды. Для анизотропной или гиротропной среды соотношение между D и Е устанавливается тензором диэлектрической ческой проницаемости
Что касается второго уравнения (23.1), то из общих соображений следует, что введение еще одного тензора
а для D справедливо материальное уравнение (23.2а). Конечно, определения Возможность полного описания среды материальными уравнениями (23.2а, б) показывает, что достаточно одного тензора
где Выше мы не случайно подчеркнули, что выражение (23.3) для порядка радиуса нелокальности неоднороден и анизотропен по своим электродинамическим свойствам. Это в особой степени усложняет электродинамическую часть задачи, т. е. нахождение вспомогательных дифракционных полей (функций Грииа) или же плотности их джоулевых потерь, если необходимо учитывать и указанный приграничный слой. Что же касается собственно флуктуационной частя задачи, то в неб все обстоит так же, как и в случае локальных сред, поскольку и обобщенный закон Кирхгофа (17.11)-(17.13), и равновесная форма ФДТ (21.5) — (21.7) справедливы при любой форме материальных уравнений. Мы ограничимся далее простейшим случаем однородной и изотропной нелокальной среды, причем среды неограниченной, когда во всем пространстве можно пользоваться как
и аналогично для
где
Вторая из этих формул показывает, что Целесообразность использования при указанных условиях пространственно-временных трансформант Фурье (
и аналогично для Н, индукций D, В и сторонних токов
а материальные уравнения для
Наличие пространственной дисперсии отражено в том, что Алгебраическую форму принимает и ФДТ. В общем случае многомерного флуктуационного поля и сопряженного по Лагранжу силового поля
а вытекающие из ФДТ выражения для корреляционных матриц
где
Применим равенство (23.11) к уравнениям Максвелла (23.8). Исключив при помощи материальных уравнений (23.9) индукции D и В, получаем
Для того чтобы воспользоваться формулой (23.11), надо разрешить эти уравнения относительно Е и Н. Детерминант уравнений (23.14) равен
Пусть среда однородна. Так как
или в компонентах
где
Здесь
Поэтому элементы диагональных квадратов матрицы (23.17) можно записать и в другом виде:
Согласно § 16 величины
Из (23.18в) мы видим, что, в отличие от сторонних токов j, и Остановимся в заключение настоящего параграфа на флуктуациях полного тока в среде, под которым понимается ток, состоящий из всех «видов» электрического тока, за исключением вакуумного тока смещения. В рамках микроскопической теории полный ток — это сумма конвекционных токов, обусловленных движением любых (не подразделяемых на «виды») микрозарядов, усредненная по физически бесконечно малым объемам среды. При таком усреднении лоренцевых уравнений для микрополей
Здесь через
Именно эти полные плотности представляют интерес в ряде задач, в частности, в задачах о флуктуациях в плазме. Установим прежде всего связь величии В и
Сопоставление вторых уравнений (23.21) и (23.8) показывает, что
Вычитая отсюда первое уравнение (23.8), получаем
Отсюда непосредственно видно, что полный ток слагается из стороннего электрического тока (первый члеи), наведенного поляризационного тока (второй член, включающий, конечно, и ток нроводимости) и электрических токов, обусловленных сторонним Магнитным током (третий член) и наведенным намагничением (последний член, включающий и магнитную проводимость). Нетрудно записать полный ток в функции только электрической напряженности Е. Для этого достаточно подставить в (23.23) вытекающие из (23.8) выражения для сторонних токов
или в компонентах
Следонательно,
Подставке сюда выражение (23.18а) для и выполнив суммирование по дважды входящим в правую часть индексам находим
Для
В флуктуации полного тока (23.24) вносят вклад как поперечные, так и продольные волны, но флуктуации объемной плотности полного заряда (23.25) связаны только с продольными волнами: в знаменателе выражения для
В задаче 7 формулы (23.24) и (23.25) применены к простой модели среды, обладающей пространственной дисперсией и представляющей интерес для описания флуктуаций в ионосферной плазме. Сделаем несколько дополнительных замечаний в заключение этой главы. В § 20 мы отметили, что теория случайных полей, обусловленных равновесными тепловыми флуктуациями, относится к статистической схеме 1), т. е. имеет дело с задачами, в которых известна статистика случайных источников поля. Тем не менее мы выделили тепловые поля в отдельную главу, указав не только на их важность, но и на специфичность. Последняя заключается именно в том, что в данном круге задач статистика источников не задается извне, а определяется самими динамическими уравнениями задачи. Говоря точнее, функции корреляции сторонних (ланжевековских) сил определены антиэрмитовыми частями тех детерминированных линейных операторов, через которые записываются динамические уравнения. В этом и состоит флуктуационно-диссипационная теорема (§ 15). Если же речь идет о существенно неравновесных тепловых флуктуациях или вообще о полях нетеплового происхождения, то статистика источников обычно не определена видом самих уравнений, а должна быть задана — либо формально, либо на основе статистического исследования микроскопических моделей. Другое замечание касается универсальности различных форм ФДТ. Мы рассматривали в этой главе электромагнитные тепловые поля, хотя опирались на ФДТ, которая применима к равновесным тепловым флуктуациям любой физической природы (§ 15). Для электромагнитных полей были получены другие формы ФДТ — кирхгофовская (§§ 17, 18), волноводная (§ 19), равновесная (§ 21), более прозрачные физически, более «экономные» по процедуре решения конкретных задач и обладающие более широкими возможностями в отношении охвата задач, поддающихся решению. Естественно возникает вопрос о том, являются ли эти формы ФДТ столь же физически универсальными, как и исходная «каноническая» ее форма (15.14). Все, что нам понадобилось учесть в электродинамике для получения указанных форм ФДТ, сводится к электродинамической теореме взаимности (17.2) или (22.1) и комплексной лемме Лоренца (21.2). Можно поэтому ожидать, что для любых равновесных (и квазиравновесных) флуктуационных полей, для которых справедливы теорема взаимности и аналог леммы Лоренца, будут верны и перечисленные формы ФДТ. Анализ этого вопроса показывает, что дело обстоит именно так [15], и отсюда вытекает ряд интересных следствий. Например, кирхгофовская форма ФДТ и, в частности, формула (18.15) полностью справедливы для акустических волн. Тепловые потери обусловлены здесь вязкостью и теплопроводностью среды. Представим себе, что тело, обладающее такими потерями, погружено в «прозрачную» жидкость, т. е. жидкость с малым поглощением продольных волн. Послав на тело плоскую волну частоты со (скажем, в звуковом или ультразвуковом диапазоне), мы можем найти эффективный поперечник поглощения тела
|
1 |
Оглавление
|