§ 14. Стохастические уравнения Максвелла

Исходные уравнения Максвелла

необходимо, как известно, дополнить так называемыми материальными уравнениями, связывающими индукции D и В с напряженностями Е и Н. Эти уравнения описывают электродинамические свойства среды и могут быть в общем случае нелинейны. Однако если задача о тепловых флуктуациях ставится макроскопическими уравнениями (а именно так она ставится во флуктуационной электродинамике) и если мы интересуемся только термодинамически равновесными флуктуациями, то макроскопическая нелинейность системы не играет роли, т. е. достаточно пользоваться линеаризованнымн уравнениями. Это обстоятельство было разъяснено ранее для дискретных систем (ч. I, § 54), но оно остается в силе и для распределенных систем. Другими словами, сохраняя полную общность, мы можем исходить из линеаризованных материальных уравнений. Последние можно было бы взять наиболее общими, учитывающими наличие неоднородности и анизотропии среды, временную и пространственную дисперсию, а также движение среды. Однако для упрощения выкладок и для более четкого выделения принципиальных моментов мы ограничимся случаем неподвижной и поначалу изотропной среды, обладающей только временной нелокальностью (частотной дисперсией). В этом частном случае среду можно описать материальными уравнениями вида (см. сноску на стр. 173)

где — диэлектрическая и магнитная проницаемости.

Переходя к стохастическим максвелловским уравнениям, введем теперь в правые части уравнений (14.1) случайные сторонние источники, которые «вызывают» тепловые флуктуации напряженностей поля и всех связанных с ними электродинамических величин. Эти распределенные источники играют здесь такую же вспомогательную роль эквивалентных ланжевеновских «сил», как интегральные э. д. с. Найквиста в электрических цепях с сосредоточенными параметрами (ч. I, § 54).

Флуктуационные источники можно выбирать различным образом, в частности в виде объемных плотностей электрических

и магнитных токов. Стохастические уравнения Максвелла примут тогда вид

Можно было бы воспользоваться вместо токов сторонними индукциями , положив

что, как мы увидим далее, оказывается в некоторых случаях целесообразным. Поля флуктуационных источников (равно как и мы будем считать стационарными во времени.

Обратим внимание на вытекающее из (14.3) уравнение баланса энергии (теорему Пойнтинга), которое мы запишем для полного поля. Умножив первое уравнение (14.1) на Е, второе — на — Н; сложив результаты и взяв интеграл по объему V, ограниченному поверхностью 2, получаем

где

— скорость изменения заключенной в объеме V электромагнитной энергии, диссипируемая в этом объеме мощность. Интеграл в левой части равенства пропорционален потоку энергии (потоку вектора Пойнтинга) через поверхность , так что для полного поля он обращается в нуль. Поэтому представляет собой не что иное, как диссипируемую в объеме V мощность. После усреднения по ансамблю случайных «сил» и если учесть, что для полного и стационарного поля мы получим для средней диссипируемой мощности выражение

Нас будут интересовать спектральные амплитуды стационарных во времени электродинамических величин, т. е. пространственные поля трансформант Фурье

и аналогично для Для спектральных амплитуд уравнения (14.3) принимают вид

где а материальные уравнения (14.2) — вид

где

Заметим, что член мы объединили в (14.6) с членом это означает включение электрической проводимости в или, точнее, в ее мнимую часть . Вводя можно учесть и магнитные потери.

Система неоднородных линейных уравнений однозначно определяет спектральные амплитуды напряженностей и индукций флуктуационного поля при заданных граничных условиях и (если это нужно) условиях на бесконечности, а также, разумеется, при заданных случайных источниках . Таким образом, это задача со случайными источниками (схема 1 по классификации, введенной в § 8), вероятностные свойства которых должны быть известны. Так как уравнения линейны, для нахождения вторых моментов флуктуационного поля надо знать только вторые же моменты источников. Эти вторые моменты, если речь идет о флуктуациях около состояния термодинамического равновесия, полностью определены (как и в случае сосредоточенных систем) флуктуационно-диссипационной теоремой (ФДТ), которую нетрудно распространить и на распределенные системы (поля). Поэтому мы теперь оставим на время уравнения Максвелла и обратимся к указанному обобщенно ФДТ.