§ 41. Анализ результатов МПВ

Проанализируем полученные в предыдущем параграфе результаты. Рассмотрим функцию

т. е. множитель, переводящий . Разлагая синус в ряд Тейлора, получаем

Таким образом, в области

функция пропорциональна Характерное волновое число соответствует по порядку величины радиусу первой зоны Френеля . В области функция перестает зависеть от и стремится к единице. График функции изображен на рис. 53. Что касается функции

фигурирующей в (40.31), то при она равна , а при стремится, как и к единице (рис. 53).

Вид функции может быть различным и разных задачах, но мы предположили, что волновое число соответствующее размеру наименьших неоднородностей среды, всегда мало по сравнению с волновым числом излучения к, и поэтому

в области функция пренебрежимо мала. Что же касается величины то она зависит от отношения радиуса первой зоны Френеля к размеру наименьших неоднородностей диэлектрической проницаемости. Как мы помним, величину принято называть волновым параметром (§ 10).

Рассмотрим сначала случай или (рис. 54). Как уже отмечалось, в этом случае справедлива геометрическая оптика.

Рис. 53.

Во всей области, где сосредоточена функция можно при с достаточной степенью точности ограничиться первыми членами разложений , т. е. считать, что

Для двумерных пространственных спектров уровня и фазы формулы (40,29) и (40.31) дают при этом

Таким образом, как уже было показано в гл. V, в области применимости геометрической оптики средний квадрат флуктуаций уровня растет с расстоянием, как а средний квадрат флуктуаций фазы — как . Волновое число k не входит в формулу для , т. е. в геометро-оптическом пределе флуктуации уровня не зависят от длины волны.

Средний квадрат флуктуаций уровня выражается через помощи формулы.

Отсюда видно, что вклад компонент спектра, соответствующих крупномасштабным неоднороднсстям, которым отвечают малые Значения подавляется множителем и, обращающимся в нуль

при Основной вклад в вносит часть спектра, отвечающая мелкомасштабным неоднородностям. В этой области произведение имеет максимум.

Рис. 54.

Рис. 55.

В связи с этим и поперечный радиус корреляции для флуктуаций имеет порядок величины L (рис. 55).

формулу (41.6) можно представить также в виде

(см. задачу 5). В этой форме выражение для было получено в гл. V при помощи МГО (см. (35.11)).

Для среднего квадрата флуктуаций фазы из (40.31) и (41.4) находим

Здесь основной вклад обусловлен той же частью спектра неоднородностей, для которой максимально. Таким образом, амплитудные и фазовые флуктуации обусловлены разными участками спектра неоднородностей диэлектрической проницаемости.

Формулу (41.8) можно представить также в внде (см. задачу 5)

что отвечает формуле (33.9) для эйконала полученной при помощи МГО. Мы видим, таким образом, что найденные при помощи МПВ формулы переходят в предельном случае в соответствующие формулы приближения геометрической оптнки.

Рассмотрим теперь другой предельный случай соответствующий фраунгоферовой дифракционной зоне.

Если трехмерный спектр обладает несколькими характерными масштабами , то мы будем считать, что условие выполнено для наименьшего этих волновых чисел , т. е. область пространства, в которой рассматривается поле, отвечает фраунгоферовой зоне для неоднородностей всех масштабов, присутствующих в среде.

Взаимное расположение кривых для этого случая показано на рис. 56. Мы видим, что в большей частй области, существенной для интегрирования, . Поэтому, если трехмерная спектральная плотность не имеет неинтегрнруемой особенности в нуле (и, значит, изменение в нуле весовой функцнн не играет роли), можно считать, что

    (41.10)

Таким образом, в предельном случае больших D спектральные плотности флуктуаций амплитуды и фазы оказываются примерно одинаковыми, в силу чего примерно одинаковы и корреляционные функции:

    (41.11)

Для средних квадратов флуктуаций уровня и фазы при получаем

    (41.12)

Отметим, что формула для среднего квадрата флуктуаций фазы в случае отличается от формулы (41.8), справедливой при только вдвое меньшим коэффициентом.

Рис. 56.

Что касается флуктуаций уровня, то здесь при переходе к случаю меняется вид зависимости согласно (41.6), тогда как при Иначе говоря, при постепенном увеличении величина сначала (в зоне геометрической оптики, где растет, как а затем (во фраунгоферовой зоне, когда величина становится большой) рост замедляется до линейного:

    (41.13)

Рассмотрим в качестве примера среду, у которой корреляционная функция флуктуаций диэлектрической проницаемости описывается гауссовой кривой

    (41.14)

а соответствующая трехмерная спектральная плотность имеет вид

Размер неоднородностей характеризуется здесь единственным масштабом а.

Несложный расчет приводит для такого спектра ФЕ к следующим выражениям для у и S (см. задачу 6):

    (41.16)

где . При можно использовать разложение что приводит, в согласии с (41.6) и (41.7), к кубической зависимости от :

а для S, в согласии с (41.8), — к линейной зависимости:

    (41.19)

В случае же членами в (41.16) и (41.17) можно пренебречь, и тогда, в соответствии с (41.12), получаются примерно одинаковые выражения для

    (41.20)

Графики функций и S, отнесенных к в зависимости от D приведены на рис. 57.

Следует отметить, что формулы того же вида, что и (41.18)- (41.20), справедливы и в более общем случае, когда трехмерная спектральная плотность неоднородностей всюду ограничена и имеет максимум в точке Исходя из общих формул (41.6), (41.8) и (41.12), можно показать, что при

где — радиус корреляции флуктуаций .

Рассмотрим теперь другой пример, который не укладывается в общие предельные соотношения (41.10)-(41.12).

Рис. 57.

Мы имеем в виду степенной спектр, соответствующий флуктуациям диэлектрической проницаемости, вызываемым турбулентностью:

    (41.21)

Здесь — структурная характеристика, входящая в «закон 2/3» для флуктуаций диэлектрической проницаемости. В действительности спектр является степенным лишь в ограниченном диапазоне волновых чисел

    (41.22)

где соответственно внутренний и внешний масштабы турбулентности. Однако но многих практически интересных случаях волновой параметр «составленный» из радиуса первой зоны Френеля и внешнего масштаба турбулентности превышает единицы даже на достаточно больших дистанциях

Вместе с тем волновой параметр , «составленный» из внутреннею масштаба турбулентности и радиуса первой зоны Френеля, может быть как меньше, так и больше единицы. В последнем случае метод геометрической оптики уже неприменим из-за наличия неоднородностей, меньших радиуса первой зоны Френеля. С другой стороны, поскольку всегда присутствуют и неоднородности размером больше и для поэтому еще характерен не режим дифракции Фраунгофера, а френелевская дифракция или даже геометрическая оптика.

Рис. 58.

Предположим на время, что ограничения (41.22) отсутствуют. Тогда функция , интеграл от которой определяет будет изображаться кривой, показанной на рис. 58. В области имеем , т.е. при получаем . Поэтому площадь под кривой на рис. 58 конечна и интеграл

    (41.23)

сходится.

Посмотрим теперь, к чему приводит учет реального хода спектра вне интервала в котором справедлив закон (41.21). В области трехмерная спектральная плотность возрастает с уменьшением медленнее, чем или же вообще не возрастает.

Поэтому, если то в области произведение уже мало и не влияет существенно на значение интеграла (41.23). Следовательно, если «реальная» функция в области уменьшится по сравнению с чисто степенной функцией (41.21), то это заметным образом не повлияет на значение интеграла (41.23). Таким образом, если то отклонения «реального» спектра от чисто степенного можно не учитывать.

Равным образом, если , то точка лежит уже в той области, где произведение мало и убывает с ростом так что интеграл

    (41.24)

при больших настолько мал, что его вкладом в полный интеграл (41.23) тоже можно пренебречь. Поскольку интеграл от произведения «реального» спектра на отличается в высокочастотной части спектра от интеграла с чисто степенным спектром на малую величину (41.24), этой разницей при тоже можно пренебречь.

Итак, если выполняются условия , то при расчете можно считать, что при всех и в этом случае подстановка (41.21) в (40.33) дает

Замена переменной интегрирования приводит этот интеграл к виду

Полагая (напомним, что ), получаем для выражение

    (41.27)

где - числовая константа, равная

    (41.28)

Степенная зависимость от (показатель 11/6) оказывается промежуточной между предельными случаями соответствующими зоне геометрической оптики и зоне Фраунгофера. Это обусловлено тем, что при всегда существуют неоднородности, для которых точка наблюдения находится в зоне дифракции Френеля.

Расстояние между точками наблюдения входит в (41.26) лишь в комбинации Это означает, что радиус корреляции флуктуаций уровня имеет порядок величины График корреляционной функции (11.26) приведен на рис. 59 (см. [11]).

Обратимся к флуктуациям фазы. Если подставить трехмерную спектральную плотность вида (41.26) в формулу (40.34) и не принимать во внимание ограничений (41.22), то интеграл в (40.34) будет расходиться в точке

Рис. 59.

Это обусловлено тем, что, в отличие от , весовая функция не обращается в нуль при . Таким образом, роль компонент спектра, отвечающих крупномасштабным неоднородностям, пренебрежимо Малая для амплитудных флуктуаций, оказывается для флуктуаций фазы не меньшей, чем роль мелкомасштабных компонент. Это не позволяет экстраполировать спектральную плотность вида (41.21) на область . Для расчета величины S" необходимо знать истинную трехмерную спектральную плотность в указанной области волновых чисел, т. е. надо учитывать влияние крупных неоднородностей. Простейший способ учета «насыщения» флуктуаций в области крупных масштабов состоит в замене спектра (41.21) спектром (41.15), который не имеет особенностей при Оценка дисперсии эйконала, отвечающая такому спектру, уже была ранее получена при помощи МГО (см. (36.8)).

Рассмотрим теперь структурную функцию фазы в плоскости . Здесь мы уже можем ожидать, что крупномасштабные неоднородности (с размерами, много большими ) не будут играть роли, так как они дают одинаковый вклад в набеги фаз по обоим лучам и поэтому выпадают из разности . В формуле (40.35) это находит отражение чем, что множитель в области ведет себя как Поэтому, если подставить степенной трехмерный спектр (41.21) в формулу (40.35) и не учитывать ограничения (41.22),

то мы получим сходящийся интеграл

    (41.29)

Особенность в нуле имеет здесь вид т.е. является интегрируемой. Повторяя рассуждения, проведенные при обосновании формулы (41.24), можно убедиться в том, что при выполнении условий

справедлива формула (41.29). В этих рассуждениях волновое число будет играть ту же роль, что в предыдущем случае, так как весовая функция при имеет вид а при она приблизительно постоянна. Сделав в интеграле (41.29) замену переменной , получаем

Исследование этого интеграла (ем. задачу 7) приводит к следующим результатам. Если , то

    (41.32)

а при

Чтобы найти вид функций при необходимо учесть, что трехмерная спектральная плотность в области быстро убывает. Для области можно получить формулы (см. задачу 8)

    (41.34)

В заключение данного параграфа выведем ряд найденных выше основных формул при помощи простых рассуждений качественного характера (разумеется, мы не получим числовых коэффициентов, входящих в эти формулы).

Рассмотрим сначала флуктуации фазы. Как мы убедились выше, для их расчета достаточно использовать приближение геометрической оптики, так как учет дифракционных эффектов приводит лишь к изменению числовых коэффициентов. Возьмем луч

длины . Если масштаб неоднородностей равен , то на луче укладывается независимых неоднородностей. После прохождения одной неоднородности произойдет набег фазы волны, равный случайная компонента этого набега равна по порядку величины Так как случайные величины , отвечающие различным неоднородностям, статистически независимы, для суммарного среднего квадрата набега фазы имеем что соответствует формуле (41.19).

Оценим теперь в том же приближении геометрической оптики флуктуации амплитуды. Их можно рассматривать как результат случайных фокусировок и дефокусировок. Пусть по-прежнему неоднородность имеет размер , а отклонение диэлектрической проницаемости от средней равно е. Как известии, фокусное расстояние линзы, ограниченной сферической поверхностью с радиусом R, равно где — показатель преломления линзы, окружающей среды. Поэтому для рассматриваемой неоднородности фокусное расстояние будет порядка , а угол отклонения луча а (рис. 60) имеет порядок . Изменение диаметра упавшего на «линзу» пучка составит на расстоянии 2 позади нее величину Но амплитуда волны А связана с диаметром пучка d соотношением , откуда . Если рассматривать только слабые флуктуации интенсивности, то фокусное расстояние F очень велико и d для будет порядка и, тем самым,

Рис. 60.

Мы подсчитали относительное изменение амплитуды, вызванное действием одной «линзы». Суммарная оптическая сила нескольких слабых «линз», расстояние между которыми мало по сравнению с их фокусными расстояниями, равна сумме оптических сил составляющих, так что суммарное изменение амплитуды будет

Среднее значение этой суммы равно нулю, а для среднего квадрата получаем

где — среднее число неоднородностей на дистаицин . В итоге

что соответствует формуле (41.18).

Возьмем теперь случай, когда в среде присутствуют неоднородности различных размеров, причем в соответствии с трехмерной спектральной плотностью (41.21), которой отвечает структурная функция неоднородность размера l характеризуется флуктуацией диэлектрической проницаемости

Рассмотрим сначала амплитудные флуктуации. Согласно формуле

    (41.37)

Мы видим, что эффект тем больше, чем меньше неоднородность. Если размер наименьших неоднородностей удовлетворяет условию (и поэтому дифракционными эффектами можио пренебречь), то и качестве I в (41.37) следует взять . Число таких неоднородностей на путн распространения волн равно и суммарный средний квадрат флуктуаций амплитуды будет равен по порядку величины

Пусть теперь вместе с тем где — внешний масштаб неоднородностей. Это означает, что имеются неоднородности с размерами к которым применима геометрическая оптика, а значит, и формула (41.37). В то же время к неоднородностям, размер которых I лежит в интервале , геометрическая оптика неприменима и их действие необходимо рассматривать с учетом дифракционных эффектен. В данном случае роль дифракции сводится к тому, что лннзы с размерами, меньшими уже перестают фокусировать или дефокусировать полну, а в обоих случаях создают расходящиеся пучки с углом раствора порядка Следовательно, неоднородности с размерами, менылнми можно вообще не учитывать.

Действие же более крупных неоднородностей по-прежнему описывается формулой (41.37). Поэтому окончательную формулу мы можем получить прямо из (41.38), если заменим в ней размер на размер наименьших неоднородностей, которые еще способны фокусировать (или дефокусировать) волну, т. е. на . В результате получаем формулу

    (41.39)

которая соответствует (41.27).

Перейдем теперь к флуктуациям разности фаз в двух точках с координатами , отстоящих друг от друга на расстояние

Рис. 61.

Рассмотрим два луча, приходящих в точки , и выберем слой среды такой толщины чтобы на протяжении величины мало менялись. Этот участок трассы вносит сдвнгфаз где — разность значений на лучах (рис. 51). Здесь возможны следующие два случая.

Если то оба луча находятся в пределах одной неоднородности размера и мы можем выбрать Тогда для участка длины имеем . Но — это структурная функция t. Как было указано в гл. I, § 4, если то следовательно,

Число независимых неоднородностей на пути в этом случае так что суммарный средннй квадрат разности фаз равен

Пусть теперь . В этом случае основной влад в вносят неоднородности с размерами порядка . Действительно, более мелкие неоднородности обладают меньшими значениями к, а более крупные вносят одинаковый вклад в сдвиг фазы обоих лучей и поэтому несущественны для разности фаз . Мы можем Поэтому выбрать и тогда

(поскольку . Полный средний квадрат разностн фаз, вызванной всеми неоднородностями, будет иметь порядок величины

что соответствует формуле (41.32).

Из приведенных качественных рассуждений видно, что основные формулы МПВ для турбулентной среды можно получить геометро-оптического анализа, если только учесть дополнительно, что неоднородности с масштабами, меньшими радиуса первой зоны Френеля, несущественны для амплитудных флуктуаций.

Что же касается предельного случая 1, которому соответствуют формулы (41.20), то здесь геометрическая оптика уже полностью неэффективна. Формулы (41.20) тоже можно получить путем качественных рассуждений, но при этом необходимо пользоваться чисто дифракционным понятием эффективного поперечинка рассеяния для зоны фраунгоферовой дифракции [6].