§ 9. Случайные волны в неограниченной однородной среде

Задачи возбуждения полей случайными источниками (реаль ными или виртуальными), отнесенные нами к статистической схеме 1), принадлежат к тем весьма немногочисленным пробле мам статистической волновой теории, которые допускают, и

существу, универсальный подход. Это обусловлено тем, что поле и связано с источниками линейным детерминированным оператором, который, в принципе, может быть обращен.

При возбуждении поля реальными источниками в силу (8.5) любые моменты поля могут быть получены усреднением произведений вида и (1) и лишь по ансамблю случайных источников q. В частности, для двух низших моментов имеем

В случае виртуальных источников, когда в соответствии с (8.3) заданы значения v первичного поля (или его производных) на некоторой поверхности , а искомое поле выражается через v при помощи линейного детерминированного оператора

искомые моменты и связаны с известными моментами v линейными соотношениями, подобными (9.1):

Соотношения вида (9.1) или (9.3), в принципе, дают полное решение статистических задач схемы 1), поскольку совокупность всех статистических моментов однозначно определяет всю совокупность -мерных плотностей вероятностей случайного поля. Однако эта формально простая процедура фактически реализуема крайне редко. Удобные для физического анализа выражения для моментов поля и в большинстве случаев удается получать только для низших моментов и лишь при использовании тех или иных приближений для обратных операторов G или 5. Получение же плотности вероятностей поля осуществимо обычно лишь при условиях, когда применима центральная предельная теорема.

С необходимостью прибегать к различным приближениям мы сталкиваемся даже в простейшем случае скалярного волнового поля в однородной безграничной среде, когда мы располагаем сравнительно простыми точными выражениями для операторов . Приведем относящиеся к этому случаю и необходимые для дальнейшего динамические соотношения и выясним на примере скалярного поля ряд свойств случайных волновых полей. В последующих параграфах мы обратимся к конкретным радиофизическим задачам, относящимся к схеме 1).

В однородной и стационарной среде без дисперсии и поглощения скалярное поле и удовлетворяет волновому уравнению

где с — скорость распространения волн, поле случайных источников. Решение уравнения (9.4), удовлетворяющее условиям излучения на бесконечности, имеет, как известно, вид

где Это частный случай линейной, связи (8.5) поля с источниками.

Во многих задачах удобнее рассматривать не само случайное поле и , а его спектральную амплитуду

которая, в силу (9.4), удовлетворяет уравнению

где — спектральная амплитуда . Для спектральных амплитуд решение (9.5) принимает вид

Здесь введена функция Грина для неограниченной однородной среды

удовлетворяющая уравнению

При помощи (9.8) легко записать выражения для всех моментов поля.

Если источники сосредоточены в ограниченной области, скажем в пределах сферы радиуса а, а нас интересует поле и в дальней (фраунгоферовой) зоне распределения источников, то формулы (9.6) и (9.8) упрощаются, так как можно воспользоваться приближенным выражением функции Грина. Пусть начало координат помещено в центр области, занятой источниками. Тогда при расстояние в формуле (9.9) можно приближенно заменить на в показателе экспоненты на в знаменателе, что и приводит к фраунгоферову приближению. В этом приближении (9.8) принимает вид

где единичный вектор в направлении на точку наблюдения.

Приведем теперь динамические соотношения для того случая, когда заданы виртуальные источники. Будем исходить из формулы Грина, которая связывает спектральную амплитуду поля внутри области, ограниченной поверхностью со спектральной амплитудой граничного поля и

Здесь — расстояние от точки наблюдения до точки , лежащей на поверхности по которой ведется интегрирование, означает дифференцирование в направлении внешней нормали N к Граничные значения и как известно, должны быть заданы математически непротиворечивым образом. Поэтому двучленная формула Грина (9.11) может быть использована лишь в тех случаях, когда из каких-либо дополнительных соображений вытекает связь (точная или приближенная) между граничным полем v и его нормальной производной

Особым является случай, когда поверхностью служит плоскость, замкнутая полусферой бесконечно большого радиуса. В этом случае, которым мы и ограничимся, двучленная формула (9.11) сводится к одночленной.

Если на плоскости задано само поле где — двумерный вектор, то интеграл по бесконечно удаленной сфере обращается в нуль, и тогда в полупространстве

Если же на плоскости задана нормальная производная то

Таким образом, в случае плоской границы достаточно задания на либо самого поля и, либо его нормальной производной

Другой метод расчета полей в полупространстве восходит к Релею и основан на разложении полей по плоским волнам. Представим граничное поле двумерным

интегралом Фурье:

где — двумерный волновой вектор, а - -амплиту да граничного поля, связанная с и обратным преобразованием Фурье:

В полупространстве каждая пространственная гармоника граничного поля порождает плоскую собственную волну (напомним, что множитель опущен), которая удовлетворяет волновому уравнению при условии, что

Таким образом, в случае волнового уравнения для однородной и изотропной среды дисперсионная поверхность (см. § 6) представляет собой в четырехмерном пространстве (со, к) трехмерный конус с осью по и и вершиной в начале координат. В соответствии с этим дисперсионным уравнением в свободной от источников области возможны при заданном собственные волны двух типов — в зависимости от того, вещественна или мнима -компонента волнового вектора к:

При компонента вещественна и мы имеем бегущие волны. При когда период осцилляций на границе меньше длины волны соответствующей частоте со, компонента мнима и получаются неоднородные волны. Они экспоненциально ослабевают с удалением от границы Практически уже при . остаются только бегущие волны.

Результирующее волновое поле , удовлетворяющее граничному условию , выражается суперпозицией плоских волн обоих типов:

Аналогичное представление поля нетрудно записать том случае, когда на плоскости задана производная по нормали .

Формула Грина (9.12) и разложение по плоским волнам (9.16), разумеется, эквивалентны друг другу. В дальнейшем мы будем пользоваться той из них, которая быстрее ведет к окончательному результату. Любая из них позволяет выразить моменты через моменты и .

При вычислении моментов поля при помощи приведенных выше формул часто приходится рассматривать те или иные частные случаи. Перечислим наиболее существенные из них. При 1, т. е. в волновой воне, для ядра в формуле (9.12) имеем

При выполнении неравенств справедливо так называемое френелевское приближение, в котором заменяется на в показателе экспоненты и на в знаменателе предыдущей формулы; при этом формула Грина (9.12) принимает вид

Наконец, в зоне Фраунгофера, , где а — радиус области, в которой граничное поле отлично от нуля, имеем

Обратимся теперь к некоторым свойствам моментов и спектров волновых полей Статистические моменты волновых случайных полей часто называют функциями когерентности, так как соответствующие коэффициенты корреляции служат количественной мерой когерентности этих полей (ч. I, §§ 47 и 48). Термины «время когерентности», «длина когерентности», «степень когерентности» являются в отношении волновых полей синонимами «времени корреляции», «радиуса корреляции», «коэффициента корреляции». В связи с этим мы предпочитаем и в этой части книги говорить о теории случайных волн, а не о «теории когерентности», рассматривая последнюю просто как одно из приложений общей теории случайных полей. Однако мы не будем избегать и терминов «функция когерентности» или «степень когерентности», которые уже прочно вошли в физический обиход.

Смешанный момент волнового поля порядка (функция когерентности порядка определяется соотношением вида (2.30) и вместо обычно обозначается Корреляционная теория случайных волн ограничивается рассмотрением

моментов лишь первого и второго порядков: среднего поля (функции когерентности первого порядка ) и двух смешанных моментов второго порядка, называемых первой и второй функциями когерентности второго порядка:

Последние связаны с первой и второй функциями корреляции поля формулами

(как обычно, здесь

Для зависимости волновых полей от времени мы примем комплексное представление в виде аналитического сигнала

где спектральная амплитуда тождественно равна нулю для отрицательных частот, а для равна удвоенной спектральной плотности исходного вещественного поля .

Если поле является как функция t аналитическим сигналом и стационарно, то среднее значение поля и его второй смешанный момент Г равны нулю (ч. I, § 38).

Без предположения об аналитическом сигнале среднее значение стационарного поля может быть отличным от нуля и представляет собой некоторую функцию только от , удовлетворяющую уравнению Лапласа Так как такие статические детерминированные поля нас не интересуют, можно и в этом случае рассматривать только флуктуации , т. е. считать, что Что касается нестационарных и, в частности, монохроматических полей то для них среднее поле и Г, вообще говоря, отличны от нуля.

Энергетические величины (интенсивность, плотность энергии, плотность ее потока) квадратичны по полю, в силу чего их средние значения можно выразить через статистические моменты первого и второго порядков (ч. 1, § 47 и задача 1).

Из высших моментов наибольший интерес представляет момент четвертого порядка

    (9.22)

через который выражается, в частности, корреляционная функция флуктуаций интенсивности комплексного поля

причем . Если поле и нормально, то все высшие моменты выражаются через первый и вторые моменты. Функция корреляции интенсивности для этого случая приведена (в несколько иных обозначениях) в задаче 12 к гл. I.

Выражения для моментов поля мы получали выше, используя динамические решения для и. Как уже было отмечено, существует и другой способ нахождения моментов — из уравнений, которым подчиняются сами статистические моменты. В рассматриваемой задаче о возбуждении полей реальными источниками, которая в общем случае описывается уравнением (8.1) С детерминированным оператором L и с детерминированными граничными условиями, уравнения для вторых моментов легко получить простым перемножением левых и правых частей (8.1), взятых в разных пространственно-временных точках. Так, второй момент удовлетворяет уравнению

которое становится однородным в области, свободной от источников.

В рамках схемы 1), когда динамическое решение задачи для поля и известно, находить моменты из уравнений типа (9.24) обычно гораздо менее удобно, чем по формулам типа (9.1) или (9.3). Волновые уравнения для моментов представляют здесь интерес, пожалуй, лишь в том отношении, что из них очевидны волновые свойства самих моментов и, соответственно, можно говорить о распространении и дифракции этих моментов почти в том же смысле, что и для поля . Одно из важных волновых свойств статистических моментов поля и состоит в том, что их значения на некоторой поверхности определяют поведение моментов во всем объеме, ограниченном поверхностью подобно тому как это имеет место для самого поля.

Как уже было отмечено в § 6, в рассматриваемом случае волнового уравнения для однородной и стационарной среды дисперсионная гиперповерхность представляет собой конус или . Поэтому спектральная плотность в разложении Фурье корреляционной функции однородного и стационарного поля (6.3) содержит множитель

где -функция частоты со и направления

В коэффициенте при дельта-функции можно выделить множитель

Величина носит название лучевой интенсивности или яркости и играет большую роль в теории переноса излучения (гл. VIII). Связь этой величины с функцией корреляции можно установить, подставив (9.26) в (6.3) и положив (-элемент телесного угла). Выполнив интегрирование по получаем искомое соотношение

При и эта формула дает дисперсию поля

Из последнего выражения видно, что лучевая интенсивность описывает распределение энергии по (положительным) частотам и по углам, т. е. представляет собой частотно-угловой спектр поля. В частности, изотропному полю отвечает лучевая иитеисивность, не зависящая от углов (общее выражение для функции корреляции в этом случае дано в задаче 2). Заметим, что угловым спектром часто называют также двумерное разложение функции корреляции в интеграл Фурье:

Как показано в задаче 4, при малой ширине углового спектра величина пропорциональна лучевой интенсивности (при эти величины отличаются лишь множителем ).

При помощи (9.27) можно оценить минимальный радиус корреляции свободного волнового поля. Пусть - максимальная частота волн, еще заметно представленных в спектре . В силу (9.27) радиус корреляции поля можно оценить из условия , что приводит к оценке

Иными словами, радиус корреляции случайного волнового поля не может быть меньше минимальной длины волны, имеющейся в спектре колебаний. Строго говоря, эта оценка относится к случаю изотропного поля, когда лучевая интенсивность не зависит от . Оценки продольного и поперечного радиусов корреляции поля для случая, когда его лучевая интенсивность сосредоточена в узком конусе, даны в задаче 3.

Описанные выше свойства статистических моментов и спектральных плотностей характерны не только для скалярных, но и для векторных случайных полей. Мы не будем приводить здесь векторные аналоги рассмотренных выражений для полей и их моментов, поскольку в принципе они не выходят за рамки общих соотношений (9.1) и (9.3). Отметим только, что статистические характеристики поляризации плоских квазимонохромати ческих волн мы уже рассмотрели в ч. I, § 49. Введенная там матрица поляризации характеризует статистическую связь разных компонент поля в одной и той же точке в один и тот же момент времени (см. также [13, 14, 211 и [22]). Общий вид корреляционной матрицы стационарного, однородного и изотропного поля приведен в задаче 6, а в задаче 5 указана связь энергетических характеристик поля с корреляционной матрицей поля и с матрицей лучевых интенсивностей.