Глава I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЯХ

§ 1. Основные понятия

В части I этой книги мы, почти без исключений, имели дело с однопараметрическими случайными функциями , причем в большинстве приложений параметра являлся временем I. Если же речь идет о случайной функции более чем одного параметра, ), то ее называют обычно случайным полем (в пространстве параметров а, , Мы сразу же ограничимся случаем, когда параметров всего четыре: время t и точка пространства . Можно, конечно, называть полем В четырехмерном пространстве, но в нерелятивистских задачах привычнее и нагляднее говорить о переменном (зависящем от f) поле в трехмерном пространство .

В свою очередь случайное поле может описываться не одной, а N функциями и называется тогда -мерным случайным полем, подобно -мерной случайной функции . С чисто математической точки ярения компоненты Смогут быть чет угодно и даже не обязаны обладать одинаковой размерностью. Например, флуктуации плотности жидкости , давления , температуры Т и скорости v образуют в совокупности шестимерное случайное поле. Но особый физический интерес представляют, конечно, те случаи, когда величины одноразмерны и обладают определенными трансформационными свойствами при ортогональных преобразованиях координат в пространстве , т. е. являются совокупностью компонент тензора какого-либо ранга. При таком подходе целесообразнее говорить в приведенном примере о четырех полях — трех скалярных и одном векторном

Ряд определений и свойств, введенных и установленных ранее в ч. I, для случайных функций одного параметра, естественным образом обобщается и на случайные поля, зависящие

от многих параметров, в частности, на пространственно-временные случайные поля, зависящие от . Эти (зачастую довольно очевидные) обобщения касаются и вопроса о том, что означает полное задание случайного поля.

Обозначим для краткости через точку в четырехмерном мире. Полное задание одномерного случайного поля означает, что известны все его -мерные, или, как иногда говорят, -точечкые , плотности вероятностей, т. е. для любого числа произвольно выбранных точек известны функции

где вероятность того, что случайная величина приняла значение, лежащее в интервале . Аналогично, полное, статистическое задание (описание) -мерного поля дается совокупностью -мерных плотностей вероятностей

Эти плотности вероятностей, разумеется, должны быть подчинены условиям неотрицательности, симметрии, согласованности и нормировки (ч. I, § 14).

Очевидным образом распространяется на случайные поля и понятие статистической однородности. Одномерное случайное поле I называется однородным (в узком смысле), т.е. стационарным!) по и однородным по , если все «-мерные плотности вероятности инвариантны относительно преобразования трансляции

Если речь идет о -мерном случайном поле и указанной инвариантностью относительно сдвига обладают все -мерные плотности вероятностей то говорят об однородных и однородно связанных (в -пространстве) полях .

Понятие пространственной однородности для случайных полей (инвариантность плотностей по отношению к пространственному

сдвигу является естественным обобщением понятия стационарности для случайных функций времени (ч. I, § 16). Но многомерность пространства параметров открывает новые возможности, а именно: поле может быть по части параметров однородным, а по остальным — неоднородным. Например, наряду с полями, однородными в -пространстве, иногда приходится иметь дело со стационарными, но пространственно, неоднородными полями или же однородными, но нестационарными полями. В волновых задачах часто встречаются поля, однородные только на определенных поверхностях, скажем на плоскости или на сфере.

Зная многомерные плотности вероятностей, можно вычислить моменты случайного поля любого порядка. В общем случае эти моменты будут функциями координат: Во многих вопросах наибольший интерес представляют наинизшие моменты (первого и второго порядка), с которыми оперирует корреляционная теория случайных полей. Основные понятия этой теории те же, что и в корреляционной теории случайных функций.

Среднее значение случайного поля (момент первого порядка) вычисляется при помощи одномерной плотности вероятностей :

Флуктуационную часть случайного поля , т. е. величину мы по-прежнему будем обозначать волнистой чертой сверху:

Смешанный момент второго порядка вычисляется при помощи двумерной плотности вероятностей

Через нее же выражается и функция корреляции (точнее, функция автокорреляции):

Для случайных полей с нулевым средним значением функции совпадают. Дисперсия

случайного поля т. е. средний квадрат флуктуации, равна

Многомерное поле в рамках корреляционной теории характеризуется совокупностью средних значений и матрицей моментов второго порядка с элементами

или, что равносильно, — корреляционной матрицей с элементами

Для краткости аргументы здесь заменены просто своими номерами 1 и 2. Диагональные элементы корреляционной матрицы представляют собой функции автокорреляции , а недиагональные — функции взаимной корреляции полей .

Наряду с вещественными случайными нолями , о которых шла речь выше, часто приходится рассматривать также комплексные поля

где - вещественные функции в -пространстве. Полное статистическое описание комплексного случайного поля осуществляется заданием -мерных плотностей вероятностей через которые выражаются вероятности

аналогично (1.1). Через можно выразить любые моменты комплексного случайного поля и, в частности, его низшие моменты. Последние представляют для рассматриваемых далее задач наибольший интерес, так что мы лишь изредка будем выходить за пределы корреляционной теории случайных полей.