§ 50. Функция когерентности поля. Оптическая теорема и уравнение переноса излучения

Выше было получено уравнение Бете—Солпитера (48.26а) для функции когерентности

поля двух точечных источников; оно имеет вид

    (50.1)

Разумеется, от него нетрудно перейти и к уравнению для функции когерентности поля и создаваемого в неоднородной среде произвольным распределением объемных источников . Поле выражается через формулой

Отсюда следует, что среднее поле равно

а функция когерентности поля получается усреднением произведения и

Поэтому, если умножить уравнение (50.1) на и проинтегрировать по , то результатом будет уравнение

определяющее функцию когерентности поля, возбуждаемого произвольным детерминированным распределением источников

В отличие от уравнения Дайсона, уравнение Бете—Солпитера (50.1) не удается разрешить относительно Г.

В этом параграфе мы займемся исследованием связи между уравнением Бете—Солпитера и УПИ — феноменологическим уравнением переноса излучения (45.25). Выше, в § 45, такая связь была установлена в том частном случае, когда для описания распространения волн использовалось приближение параболического уравнения, а для УПИ — малоугловое приближение. Теперь задача ставится в общем случае, но для ее упрощения мы ограничимся статистически однородной случайной средой, а функцию когерентности будем рассматривать только в области, свободной от источников, т. е. там, где

Преобразуем сначала (50.3) в интегро-дифференциальное уравнение. Для этого вспомним, что функции G удовлетворяет уравнению (49.3), которое мы запишем в виде

где — оператор Дайсона:

— массовый оператор, т. е. интегральный оператор с ядром :

Если применить оператор к формуле (50.2), то в силу (50.4) получим

а значит, в области, свободной от источников, справедливо уравнение

Применим теперь оператор к уравнению (50.3). С учетом (50.6) и (50.4) находим

Точно так же, если применить к (50.3) оператор то с учетом уравнений, комплексно сопряженных с (50.4) и (50.6),

получим

Вычтем уравнение (50.8) из (50.7). Если обозначить при этом через переменные интегрирования в (50.7) и в (50.8), то эта разность запишется в виде

Но согласно определению (50.5)

    (50.10)

Введем теперь, как уже неоднократно делалось, новые переменные . Тогда . Функцию выраженную через переменные , будем обозначать через

Перейдя к новым переменным и подставив (50.10) в (50.9) с учетом статистической однородности среды , находим

    (50.11)

Выполним в различных слагаемых (50.11) замены переменных интегрирования, принимая каждый раз за независимую переменную аргумент той из функций Q, Q, G или G, которая входит в данное слагаемое, кроме того, обозначая

и . Уравнение (50.11) принимает после этого вид

    (50.12)

Отметим, что (-это точное следствие уравнения Бете— Солпитера.

Рассмотрим связь уравнения (50.12) с законом сохранения энергии, который во всякой области, свободной от источников, записывается в виде (см. (39.2))

где

Усредняя эти выражения, получаем

    (50.13)

Средняя плотность потока энергии может быть выражена через функцию Действительно, дифференцируя по равенство

находим

Полагая здесь получаем

    (50.14)

так что

Вернемся к уравнению (50.12). Еслн положить в нем то для величины , используя (50.14) и (50.13), получим

Поэтому уравнение (50.12) принимает при вид

    (50.15)

Обратим теперь внимание на следующее. Функция Г в (50.15). зависит от выбора поля источников тогда как функции Q, G и К от выбора не зависят. Поскольку соответствующим выбором источников можно произвольно изменить функцию Г, не меняя функций Q, G и К, уравнение (50.15) должно выполняться тождественно относительно Г. Записав левую часть (50.15) в виде трехкратного интеграла:

подставив это выражение в (50.15) и приравняв коэффициенты при в левой и правой частях, получаем

Это равенство, связывающее среднюю функцию Грина с ядрами массового оператора и оператора интенсивности, носит название оптической теоремы [9].

Физический смысл оптической теоремы заключается в следующем. Ослабление среднего поля выражается через т. е. через , но вызывается оно не поглощением (среда прозрачна), а рассеянием, которое описывается оператором . Поэтому между этими величинами должна существовать определенная связь. Эта связь и выражается оптической теоремой. Заметим, что, когда для G, Q и К используются какие-либо приближенные выражения, они должны удовлетворять соотношению (50.16), так как в противном случае может возникнуть противоречие с законом сохранения энергии.

Вернемся к уравнению (50.12). Нашей следующей задачей будет преобразование этого уравнения в УПИ.

Воспользуемся приближением (49.38) для

    (50.17)

где G — средняя функция Грина в приближении Бурре. Для оператора интенсивности используем первый член разложения

Такая аппроксимация ядра оператора интенсивности носит название «лестничного приближения. Объясняется это название тем, что если в разложении (48.25) использовать лишь первый член ряда (48.22) для К, то диаграммное представление функции Г будет иметь вид «лестницы»:

Подставив (50.17) и (50.18) в уравнение (50.12), получаем

    (50.19)

Прежде всего, отсюда видно, что при правая часть обращается в нуль, т. е. в рассматриваемом приближении закон сохранения энергии и оптическая теорема удовлетворяются (иными словами, приближения (50.17) и (50.18) согласованы между собой и не вызывают нарушения закона сохранения энергии). Кроме того, как видно из (50.19), в уравнение для Г входят лишь разности которые можно выразить через структурные функции Это означает, что крупномасштабные неоднородности не влияют на функцию когерентности поля (напомним, что в приближении марковского случайного процесса дело обстояло точно так же, § 45).

Очевидно, необходимым условием применимости приближенного уравнения (50.19) должно быть полученное в предыдущем параграфе условие применимости приближения Бурре. Рассмотрим в этой связи характерные масштабы функции по обоим ее аргументам.

Как мы знаем из предыдущего параграфа, среднее поле экспоненциально убывает по мере удаления от источника, причем характерный масштаб убывания равен Так как ослабление среднего поля обусловлено рассеянием на неоднородностях, то ясно, что тот же масштаб d будет характерным продольным масштабом функции Г по переменной R. Характерным

поперечным масштабом Г по R может являться диаметр пучка излучения или же характерное расстояние, на котором заметно меняются такие усредненные характеристики среды, как с? или радиус корреляции

Что касается характерного масштаба функции по разностной переменной , то он может быть порядка либо радиуса корреляции неоднородностей среды, либо радиуса первой зоны Френеля (что имело место в области применимости МПВ), либо быть еще меньше (как при рассмотренных в гл. VII сильных флуктуациях поля). Во всяком случае, всегда можно считать, что намного меньше, чем характерный масштаб d функции Г по переменной

Рис. 69.

Такое соотношение между масштабами функции Г можно использовать для того, чтобы еще несколько упростить уравнение (50.19). Действительно, разность при заметно отлична от нули лишь при (рис. 69). Но, как мы предположили, величина мала по сравнению с характерным масштабом d функции по переменной R. Это означает, что в (50.19) можно считать Тогда уравнение (50.19) принимает вид

Сделаем во втором интеграле замену переменной интегрирования . Так как получим уравнение

    (50.20)

В случае, если и (тогда совпадает с корреляционной функцией поля), уравнение (50.20) эквивалентно уравнению переноса излучения. Убедимся в этом. Введем трансферманту

Фурье функции по разностной переменной:

    (50.21)

Для облегчения перехода к трансформантам Фурье в уравнении (50.20) вычислим предварительно трехмерную спектральную плотность средней функции Грина G, которую мы возьмем в приближении

    (50.23)

где . Как нетрудно убедиться, спектральная плотность разности равна

    (50,24)

Покажем, что в силу неравенства функцию (50.24) можно приближенно заменить на дельта-функцию. Максимум модуля функции соответствует — причем в этой точке Вместе с тем при , т. е. при получаем Таким образом, падает в два раза при сдвиге аргумента от на малую величину Легко проверить, далее, что

Поэтому, если (как мы уже предположили) масштаб d велик по сравнению с масштабами функции по то функцию

сосредоточенную в узком интервале можно заменить на тогда получим

Используя формулу и учитывая что (поскольку можно написать

а если учесть малость то

Теперь легко выполнить преобразование Фурье уравнения (50.20). Подставив в него выражение

и разложение (50.21), после несложных вычислений с учетом формулы

получаем

Меняя в последнем интеграле обозначения переменных интегрирования, и приравнивая коэффициенты получаем уравнение

В первом члене в правой части этого уравнения введем по переменной интегрирования сферичесиие координаты, положив , где — единичный вектор. Тогда и уравнение принимает вид

    (50.26)

Будем искать его решение в следующем виде:

    (50.27)

где

Подстановка (50.27) в (50.26) дает для следующее уравнение:

Так как имеет место равенство можно везде заменить на после чего сравнение коэффициентов при дельта-функциях приводит к уравнению

    (50.28)

где учтена четность функцнн

Это уравнение представляет собой не что иное, как УПИ (45.25), причем коэффициент ослабления равен

    (50.29)

а эффективное сечение рассеяния единицы объема в единичный телесный угол имеет вид

    (50.30)

Действительно, с использованием этих обозначений уравнение (50.28) принимает стандартную форму УПИ [14]:

    (50.31)

Из сопоставления (50.29) и (50.30) видно, что

    (50.32)

т. е. все ослабление поля обусловлено рассеянием. Сравнение формулы (50.30) с полученной в борновском приближении формулой (26.13) показывает, что значение о, определяемое выражением (50.30), отличается от значения в бориовском приближении заменой на Мы виделн, что отлнчие от обусловлено

влиянием многократного рассеяния. Однако в рассмотренном в § 49 приближении отличие от мало, и, если достаточно плавная функция, этим отличием можно пренебречь.

Принципиально важная сторона полученных результатов заключается в следующем. В феноменологической теории переноса излучения, яркость, или лучевая интенсивность, 3 никак не связана с параметрами, описывающими волновое поле. Теперь мы получили возможность установить эту связь. Комбинируя формулы (50.21) и (50.27), находим, что

или, после интегрирования по

    (50.33)

Таким образом, лучевая интенсивность представляет собой угловой спектр функции когерентности. Положив в мы получаем формулу, связывающую среднюю интенсивность с лучевой интенсивностью:

    (50.34)

Далее, продифференцировав (50.33) по , положим затем

Подставляя это выражение в (50.14) и пренебрегая разницей между получаем среднюю плотность потока энергии:

    (50.35)

Таким образом, через можно выразить все основные характеристики волнового поля: плотность энергии (интенсивность), плотность потока энергии и функцию когерентности.

Разумеется, свести точное уравнение Бете—Солпитера к УПИ возможно отнюдь не всегда. В общем случае функция когерентности разлагается в интеграл Фурье вида (50.21), в котором присутствуют плоские волны с произвольными значениями Лишь в том случае, когда в этом разложении справедлива формула (50.33).

Далее, при выводе УПИ мы использовали приближение Бурре для G и ограничились только первым членом разложения оператора

интенсивности («лестничное» приближение). Правда, более подробный анализ показывает, что второе из этих приближений справедливо тогда же, когда и первое (т. е. когда справедливо приближение Бурре), так что оба верны при необходимом условии

    (50.36)

Наконец, при переходе от уравнения (50.19) к (50.20) было сделано предположение о малости характерного масштаба функции по переменной г по сравнению с ее характерным масштабом по R. Окапывается, однако, что для выполнения этого предположения тоже необходимо условие (50.36).

Тем не менее возможны и такие ситуации, когда УПИ заведомо неприменимо. Так обстоит дело, например, в том случае, когда нас интересует обратное рассеяние. В УПИ производится некогерентное сложение рассеянных воли (сложение интенсивностей), что особенно наглядно проявляется при феноменологическом выводе этого уравнения (§ 45). Но при рассеянии назад рассеянная волна проходит точно через те же неоднородности, что и падающая, в силу чего существенны фазовые соотношения между этими волнами. В результате УПИ оказывается непригодным для описания рассеяния назад [12, 13]. Существенную роль при таком рассеянии играют «циклические» диаграммы (например, диаграммы в формуле (48.20)).

Мы ограничились весьма упрощенной задачей о распространении скалярного волнового поля в статистически однородной случайной среде. Более общий случай статистически неоднородной среды рассмотрен в работе [10]. В работе [11] УПИ выведено для электромагнитного поля, причем с учетом пространственной и частотной дисперсии.

Остановимся еще на одной стороне вопроса, постановка которого даже не возникала в феноменологической теории переноса излучения [14]. Речь идет о дифракционном содержании УПИ. Как мы видели, УПИ эквивалентно уравнению (50.20) для функции когерентности , которое в свою очередь получено из волнового уравнения. Поэтому, если известно аналитическое выражение функции , то при помощи формулы (50.33) можно восстановить функцию Г, которая должна содержать информацию и о дифракционных эффектах (см. задачу 2). Здесь возникает вопрос о том, как следует формулировать граничные условия к УПИ, чтобы при обратном переходе к получить описание дифракционных эффектов. Этот и ряд других вопросов о взаимосвязи теории когерентности с теорией переноса излучения анализируются в работах [15, 16].

Подведем некоторые итоги. Общая теория многократного рассеяния охватывает случаи не только крупных, но и мелких неоднородностей. В рамках этой теории получены приближенные

замкнутые уравнения для моментов поля, вывод которых фактически основан на частичном суммировании рядов теории возмущений. При этом в рамках общей теории многократного рассеяния удается вывести все уравнения, полученные различными приближенными методами, и, что еще важнее, указать границы применимости таких методов. Существенным достижением теории можно считать «статистико-волновое» обоснование УПИ и установление дифракционного содержания этого уравнения. Здесь получены и другие важные результаты. В частности, удается вывести УПИ с учетом трансформации когерентной составляющей поля в некогерентную (см. задачу 1, где соответствующее уравнение выводится для скалярных волн, и работу [11] для электромагнитных волн). При вычислении когерентного поля одиовременно решается и задача об определении эффективного показателя преломления случайной среды.

В рамках теории многократного рассеяния можно получить приближенные замкнутые уравнения не только в случае сплошной случайно-неоднородной среды, но и для моментов волнового поля, рассеянного на совокупности большого числа дискретных вкраплений (дифракция на телах, занимающих случайное положение и случайно ориентированных). Здесь также удается вывести УПИ (см. например, [20, 21]) и установить микроскопический смысл феноменологических параметров, входящих в это уравнение. Оказывается, что сечение рассеяния единичного объема в общем случае не совпадает с сечением рассеяния одной частицы, умноженным на концентрацию частиц: при больших концентрациях проявляются так называемые коллективные Эффекты [22], вызванные падением на данную частицу не только прямых волн, но и волн, рассеянных другими частицами.

Что касается перспектив дальнейшего развития теории многократного рассеяния, то, во-первых, можно ожидать, что она приведет к решению задачи о распространении воли в среде с не малыми флуктуациями диэлектрической проницаемости (это имеет место, например, в плазме, если частота электромагнитной волны близка к плазменной частоте, или в жидкостях вблизи критической точки).

Кроме того, имеется широкий круг практически интересных задач, несомненно относящихся к теории многократного рассеяния, но усложненных многочисленными дополнительными факторами. Здесь можно упомянуть дифракцию частично когерентных полей в случайно-неоднородной среде, рассеяние воли на шероховатой поверхности, окруженной случайно-неоднородной средой, дифракцию волн в случайно-неоднородной среде при наличии дискретных вкраплений, тепловое излучение случайно-неоднородных сред и т. д. (см. обзор [23] и цитированную в нем литературу).