Задачи

1. Выразить среднюю плотность звуковой энергии в жидкости и средний вектор Умова (плотность патока энергии) через функцию когерентности потенциала скорости и через лучевую интенсивность.

Решение. Выразив давление и скорость v через потенциал скорости .

имеем

где — скорость звука, средняя плотность, — сжимаемость жидкости. Если — комплексный потенциал скорости (аналитический сигнал), отвечающий вещественному потенциалу , то

записываются через и следующим образом:

Усреднение этих выражений дает

Символом здесь обозначен предельный переход Гц, который следует делать после вычисления временных и пространственных производных. Заметим, что закон сохранения который должен выполняться и для средних значений при подстановке в иего выражений (1) можно рассматривать как своеобразное уравнение сохранения для функций .

Если поле и стационарно, то и тогда

Если поле и к тому же и однородно, то его корреляционная функция имеет вид (9.27), что позволяет выразить через лучевую интенсивность:

Для изотропного случайного звукового поля, очевидно, Для квазимонохроматического звукового поля (спектр сосредоточен вблизи частоты множитель в написанных выражениях можно вынести за знак интеграла со значением

2. Найти общий вид функции корреляции изотропного, однородного и стационарного скалярного волнового поля.

Решение. Лучевая интенсивность для изотропного поляне зависит от направления: так что корреляционная функция (9.27) выражается однократным интегралом:

поскольку

3. Оценить продольный и поперечный радиусы корреляции волнового поля, лучевая интенсивность которого сосредоточена в узком конусе направлений с раствором

Решение. Пусть ось отвечает направлению, по которому лучевая интенсивность максимальна. Записав единичный вектор в виде

при имеем так что и корреляционная функция (9.27) принимает вид

где . Поперечный и продольный радиусы корреляции оцениваются из условий если подставить в них . В результате находим

4. Установить связь между лучевой интенсивностью и двумерным спектром случае узкого углового спектра [40].

Решение. В узком конусе выполняется приближенное соотношение которое можно представить d эквивалентной форме — если ввести двумерный волновой вектор Формула (1) предыдущей задачи принимает тогда вид двумерного спектрального разложения:

Сравнение этого разложения с разложением

обратным (9.29), показывает, что

5. Выразить среднюю плотность электромагнитной энергии и средний век Пойнтинга в вакууме через матрицу лучевых интенсивностей 3, кото рая вводится аналогично (9.26):

при этом, подобно (9.27),

Здесь — матрица спектральных плотностей, представляющая собой преобразование Фурье корреляционной матрицы свободного статистически однородного электромагнитного поля

Решение. Рассматривая случай стационарного и однородного электромагнитного поля с нулевым средним значением и учитывая, что вакууме имеем

Но

где введена лучевая интенсивность

В результате имеем

Среднее значение вектора Пойнтинга

можно получить, используя спектральные разложения для и соотношеиие

где Раскрывая двойное векторное произведение, получаем выражение

Вследствие дельта-корреляции спектральных амплитуд вектор можно заменить на но силу поперечности электромагнитного поля . В результате, с учетом (2), имеем

Подставляя это выражение в (3), получаем 00

Легко видеть, что электромагнитные формулы для отличаются от акустических выражений (см. задачу 1) только множителем вместо

Из (4) следует, что величина имеет смысл потока энергии через единичную площадку в единичный телесный угол в расчете на единичный частотный интервал. Именно так вводится лучевая интенсивность (яркость) в феноменологической теории переноса излучения [41, 42).

в. Построить корреляционную матрицу для изотропного, однородного и стационарного электромагнитного поля.

Решение. Входящая в формулу (1) предыдущей задачи матрица в случае изотропного поля должна иметь вид

Кроме того, в силу поперечности электромагнитных воли в свободном пространстве матрица V должна удовлетворять условиям

Это возможно только при и тогда

где , а штрихом обозначено дифференцирование по . Лучевая интенсивность в данном случае равна и, следовательно, не зависит от направления; при этом, в соответствии с результатами задачи 5,

7. Вычислить индекс мерцаний и дальней зоне для амплитудно-фазного экрана с логарифмически нормальным законом распределения вероятностей Поля.

Решение. Пусть где фаза и уровень распределены по нормальному закону, так что — логарифмически нормальное поле. Предположим, что . В силу нормировки результате

Следовательно, в дальней зоне

В случае чисто амплитудных флуктуаций квадрат индекса мерцаний в дальней зоне равен тогда как на самом экране . Очевидно, т. е. амплитудные флуктуации за экраном сглаживаются.

8. Пусть поле в плоскости экрана вещественно и распределено по нормальнсму закону. Показать, что квадрат индекса мерцаний в дальней зоне вдвое меньше, чем на экране.

Решение. В дальней зоне, согласно На экране же

Но для вещественного нормального случайного поля Поэтому, с учетом нормировки имеем

. В этой и предыдущей задачах потому что поле v порождает за экраном помимо амплитудных еще и фазовые флуктуации, которые, очевидно, не влияют на величину флуктуаций интенсивности.

9. Вывести из френелевскоги приближении соотношение согласно которому при падении плоской волны корреляционная функция за бесконечным экраном совпадает с функцией корреляции граничного поля .

Решение. Во френелевском приближении

Вводя обозначения получаем выражение

Интеграл по здесь вычисляется точно и равен что и приводит к соотношению

10. Найти закон изменения среднего значении и функции корреляции сферической волны, прошедшей через неограниченный статистически однородный хаотический экран.

Решения. Пусть слева от плоскости в которой расположен экран, находится источник, излучающий сферическую волну

где (рис. 10). Если — комплексная функция пропускания экрана, то граничное поле в плоскости равно

Подставим это выражение для поля в формулу Грина и, зафиксировав точку наблюдения , разложим показатель экспоненты в ряд по степеням отклонения —рст переменной от стационарной точки лежащей на луче, соединяющем точку наблюдения с источником. Все предэкспоненциальные множители, кроме заменим стационарными значениями, т. е. значениями при рст-Получившуюся приближенную формулу

можно назвать френелевским приближением для сферической волны. Здесь

Из (1) находим среднее поле

представляющее собой сферическую волну с амплитудой и функцию корреляции поля в плоскости

где Аналогичное выражение получается и для функции когерентности.

Рис. 10.

В отличие от рассмотренного в § 10 случая плоской волиы, функция корреляции сферической волны» прошедшей через экран, не сохраняется. В частности, радиус корреляции поля в плоскости z = const растет при удалении от экрана пропорционально расстоянию от источника где корреляции функции пропускания f. Роль волнового параметра в данной задаче играет величина которая при стремится к конечному пределу Легко понять, что при когда радиус первой зоны Френеля при любых z меньше размера неоднородностей на экране поле сферической волны за экраном не нормализуется даже на бесконечности.

П. Найти распределение интенсивности поля в дальней зоне ограниченного хаотического экрана.

Решение. Поле в зоне Фраунгофера определяетси выражением (11.11), котором под v нужно понимать граничное поле возникающее при падении плоской волны на хаотический экран с функцией пропускания Распределение интенсивности в дальней зоне можно вычислить из (11.11) так же, как это было сделано в § 12 для поля (12.3), возбужденного антенной с флуктуирующими токами. Учитывая, что выражение (12.3) переходит в (11.11) при замене по аналогии с распределен

интенсивности (12.11) можно написать

где величины вводятся по аналогии с (12.8).

Заметим, что подобное же распределение интенсивности (с заменой ) получится в фокальной плоскости линзы, поставленной непосредственно после ограниченного хаотического экрана, В обоих случаях при переходе от слабых флуктуаций к сильным распределение интенсивности трансформируется так же, как на рис. 8.

Рис. 11.

12. Найти средний коэффициент направленного действия параболической зеркальной антенны с пологими неровностями.

Решение. Пусть уравнение невозмущенного параболоида, а — уравнение зеркала при наличии неровностей Облучатель, помещенный в фокусе параболоида (рис. 11), посылает на зеркало сферическую волну, которая после отражения превращается в искаженную плоскую волну. При плавных (в масштабе Я) неровностях зеркала искажение поля в апертуре можно учесть введением фазового множителя — дополнительный набег фазы, обусловленный неровностями). Тем самым задача сведена к расчету дифракции поля с граничным значением на апертуре

Если высота неровностей распределена по нормальному закону, то

при этом для малых неровностей

а для больших неровностей

где — радиус корреляции неровностей, а величина играет туже роль, что и дисперсия фазы в теории фазового экрана.

Используя для расчета к. н. д. формулу (12.14), в которой, с учетом предыдущей задачи, можно заменить соответственно на получаем

(здесь, кроме того, учтено, что при ). В предельных случаях имеем

или, если принять во внимание оценку

Качественный ход зависимости нормированного среднего к. и. д. среднеквадратичного набега фазы показан на рис. 12. Начальный участок кривой отвечает первой формуле а конечный — формуле (2). Из рисунка видно, что заметное уменьшение к. н. д. начинается со значений т. е. при что согласуется с инженерным критерием гладкости зеркал Для больших зеркальных антенн современных радиотелескопов величина может быть доведена примерно до сантиметра. В соответствии с критерием резкое снижение эффективности таких антенн происходит при переходе от сантиметрового к миллиметровому диапазону волн.

Рис. 12.

13. Оценить продольный радиус корреляции поля, созданного облаком статистически независимых источников.

Решение. Расположим точки наблюдения на оси : . Для входящей в формулу (12.20) разности хода s имеем

где переменные интегрирования меняются в пределах объема V, занятого источниками: При анализе продольной корреляции рассмотрим три характерные зоны.

В ближней зоне можно ожидать малости по сравнению с L, что Позволяет разложить (1) в степенной ряд по и ограничиться только линейным членом:

При всех значениях множитель при не превышает единицы. Поэтому присутствие множителя под знаком интеграла в (12.20) проявится лишь при Следовательно, продольный радиус корреляции может быть оценен из условия т. е.

В промежуточной зоне отношения малы по сравнению с единицей, в результате чего выражение (2) упрощается и

принимает вид

Первое слагаемое в (4) не зависит от переменных интегрирования и его можно не принимать во внимание при рассмотрении корреляции, так как . Второе слагаемое по модулю не превышает величины . Из условия получаем оценку

Эта оценка аналогична формуле (2) из задачи 3 для продольного радиуса кор реляции однородного случайного поля с шириной углового спектра Можно сказать, что в данном случае ширина углового спектра 0 определяется видимым углоаым размером облака источников

В дальней зоне величина для всех отличается от не более чем на . Поэтому в дальней зоне а продольный радиус корреляции увеличивается до бесконечности:

что отвечает полностью сформировавшейся диаграмме излучения в зоне Фраунгофера.