§ 31. Рассеяние на дискретных вкраплениях

1. Поле, рассеянное отдельной частицей. Наряду с рассеянием на объемных неоднородностях, большой интерес представляет и рассеяние на совокупности большого числа тел (частиц, вкраплений и т. д.), случайно расположенных и (или) случайно ориентированных в пространстве. Это очень общая задача, имеющая широкие приложения во многих областях физики.

Строго говоря, проблема рассеяния на системе многих тел относится к статистической схеме 3) (§ 8). Но если дискретные рассеиватели имеют сравнительно небольшие размеры и расположены достаточно редко, то дифракционная задача может быть решена в приближении однократного рассеяния, которое основано на допущении, что каждое вкрапление рассеивает падающую волну так, как если бы других вкраплений не было.

Приближение однократного рассеяния сводит задачу для дискретных рассеивателей, как и в случае непрерывных неоднородностей, к схеме I), т. е. к излучению полей случайными источниками. В данном случае речь идет о совокупности дискретных Источников, статистика которых задана статистикой положений (и ориентаций) рассеивателей. Как мы увидим, «внешние» закономерности однократного рассеяния на дискретных вкраплениях на непрерывных неоднородностях среды (пространственная корреляция, частотный спектр и т. д.) во многом сходны.

Рассмотрим и здесь упрощенную постановку задачи, а именно рассеяние монохроматической волны на совокупности неподвижных

важных, частиц, размеры которых малы по сравнению с длиной волны, причем точка наблюдения находится в зоне Фраунгофера объема V, занятого частицами.

Для малых частиц рассеянное поле можно рассчитывать в дипольном приближении. Пусть — электрический дипольный момент частицы, возникающий под действием электрического ноля Е:

где а — тензор поляризуемости частицы. Для частиц, малых по сравнению с длиной волны, а можно вычислить, считая ноле Е статистически однородным. Сводка формул для некоторых симметричных тел приведена, например, в монографии [12], посвященной рассеянию волн на малых частицах.

Для сферических частиц из изотропного материала, а также для частиц произвольной формы, но с диэлектрической проницаемостью, близкой к единице, поляризуемость я является скаляром:

В качестве электрического поля в формуле (31.2) следует брать так называемое действующее поле которое отличается от ноля первичной волны тем, что включает также совокупное поле соседних рассеивателей. В приближении однократного рассеяния (борновское приближение) практически не отличается от поля первичной волны которое для простоты мы будем считать полем плоской волны Тогда

где — радиус-вектор частицы, вектор поляризации первичной волны.

Волновое поле, излучаемое в вакууме отдельным диполем с моментом (31.3), может бьпь рассчитано по формуле (30.8), если подставить туда вместо (множитель как обычно, опускаем):

Здесь — единичный вектор, направленный из точки в точку наблюдения . Магнитное поле рассеянной волны в волновой зоне дается выражением

2. Среднее значение однократно рассеянного поля. Пусть в объеме V находятся N одинаковых частиц с центрами в точках . В приближении однократного

рассеяния ноле в точке наблюдения представляет собой сумму полей, рассеянных отдельными частицами:

где — единичный вектор, направленный от частицы в точку наблюдения . При учете двукратного рассеяния в качестве надо взять сумму первичного ноля и однократно рассеянного ноля (31.6) и т. д.

Заметим, что при учете двукратного рассеяния пренебрежение в действующем поле квазистационарным полем индуцированных диполей, ближайших к точке , т. е. пренебрежение полем по сравнению с налагает определенное ограничение на среднее расстояние между частицами . Из условия следует неравенство или поскольку , где — средняя концентрация частиц, неравенство

При выполнении этого условия возможно как так и . Облако частиц, удовлетворяющее неравенству (31.7), можно назвать разреженным (конечно, в электродинамическом смысле), в отличие от конденсированной среды, в которой на

Поместим начало координат в центр рассеивающего объема заполненного частицами. Для точек наблюдения , вынесенных в зону Фраунгсфера объема можно использовать разложение (25.11):

подставив которое в (31.6), получим

где — вектор рассеяния, а

    (31.8а)

— поле, рассеянное одной частицей, помещенной в начале координат, т. е. в центр области V.

Для нахождения статистических моментов однократно рассеянного поля нужно задаться законом распределения случайных координат а если частицы движутся, то и

законом распределения скоростей . Для расчета среднего значения и функции корреляции рассеянного поля необходимы только одночастичная и бинарная плотности вероятностей. Примем, что все частицы и все их пары равноправны, т. е. функции не зависят от индексов переменных

Усредняя (31.8) по положению частиц получаем среднее поле, рассеянное N частицами:

где

    (31.10)

— характеристическая функции одночастичного распределения

Интенсивность среднего поля т. е. когерентная составляющая интенсивности, равна

    (31.11)

Когерентная составляющая отличается от интенсивности поля, рассеянного одной частицей, множителем пропорциональна квадрату числа частиц. Величину можно назвать эффективным числом когерентно рассеивающих частиц:

    (31.12)

При рассеянии вперед когерентно излучают все частицы и при этом

    (31.13)

При рассеянии под углом резко падает, поскольку характеристическая функция сравнима с единицей только при или, что то же, при углах рассеяния, лежащих внутри конуса (оценки скорости убывания с ростом даны в задаче 7).

3. Средняя интенсивность. Согласно (31.8) средняя интенсивность однократно рассеянного поля равна

    (31.14)

Выделим из двойной суммы, содержащей N членов, слагаемых каждое из которых равно единице, а остальные слагаемых с усредним при помощи бинарной плотности вероятностей . В результате получим

    (31-15)

где

    (31.16)

— бинарная характеристическая функция. Фактически это характеристическая функция распределения относительных координат. В самом деле, если заменить в на , где и выделить интегрирование по R, то

Вычитая из (31.15) интенсивность когерентной составляющей поля (31.11), получаем среднюю интенсивность некогерентного рассеяния

    (31.17)

Если положения частиц статистически независимы, т. е. , то и второе слагаемое в (31.17), пропорциональное обращается в нуль. Следовательно, слагаемое, пропорциональное описывает рассеяние на частицах, положения которых коррелированы между собой, и его можно рассматривать как характеристику коллективных эффектов при рассеянии:

    (31.18)

Первое же слагаемое в (31.17) описывает рассеяние на независимых частицах:

    (31.19)

Так как при рассеянии вперед оба слагаемых в (31.17) обращаются в нуль, . Но это имеет место только в приближении однократного рассеяния. Можно показать, что уже при учете двукратного рассеяния

Исключив из рассмотрения рассеяние вперед, т. е. в узкий конус с раствором можно пренебречь в формуле (31.19)

слагаемым (см. задачу 7), что дает

    (31-20)

т. е. сумму интенсивностей волн, рассеиваемых независимыми частицами. Если, как чаще всего бывает в приложениях теории, то в (31.18) можно пренебречь N по сравнению с N, и тогда

Представив бинарную функцию распределения в виде.

    (31.22)

можно связать разность с величиной которая обращается в нуль для частиц с независимыми координатами

    (31.23)

Если радиус корреляции т. е. характерный масштаб изменения по разностной переменной мал по сравнению с поперечником облака L (одновременно L является масштабом изменения по аргументу ), то в пределах сферы произведение можно приближенно заменить на после чего в (31.23) можно выполнить интегрирование по . Это дает

    (31.24)

где

    (31.25)

— преобразование Фурье по аргументу . Таким образом,

    (31.26)

4. Средний вектор Пойнтинга. Эффективный поперечник рассеяния. Поскольку в зоне Фраунгофера

для среднего значения вектора Пойнтинга отвечающего флуктуационной (некогерентной) компоненте поля, имеем

Обозначим через а, поперечник рассеяния отдельной частицы в единичный телесный угол. Согласно (31.8а)

— вектор Пойнтинга первичного поля, — поток энергии поля (31.4), рассеянного одной частицей, а у — поляризационный множитель (30.17). Подставляя в (31.28) выражения (31.20) и (31.26) и учитывая (31.29), получаем для суммарного поперечника рассеяния системы N частиц в единичный телесный угол выражение

    (31.30)

Вводя среднюю концентрацию частиц

    (31.31)

и учитывая, что можно представить выражение (31.30) в виде

    (31.32)

при этом подынтегральное выражение интерпретируется как сечение рассеяния единичного объема:

    (31.33)

где первое слагаемое

    (31.34)

отвечает рассеянию в пренебрежении корреляцией между положениями частиц, а второе слагаемое

    (31.35)

— рассеянию с учетом попарной корреляции положений частиц.

В зависимости от конкретных условий соотношение между этими слагаемыми может меняться в широких пределах. Ясно, например, что при малой средней концентрации преобладает слагаемое , а с ростом — слагаемое окал; при этом оказывается, что рассеяние на системе частиц с коррелированными положениями может быть описано как рассеяние на макроскопических (объемных) неоднородностях (см. ниже, раздел 5). При рассеянии электромагнитных волн в квазинейтральной плазме

коллективное рассеяние и рассеяние на независимых частицах могут быть сравнимы по величине.

5. Переход к сплошной среде. При макроскопическом рассмотрении диэлектрическая проницаемость разреженного (в смысле неравенства (31.7)) облака частиц равна

    (31.36)

где а — поляризуемость частицы, а — макроскопическая концентрация частиц, являющаяся, вообще говоря, случайной величиной. Тем самым,

    (31.37)

Постараемся установить, каковы те статистические характеристики (или ), при которых макроскопическое описание рассеяния, т. е. описание на языке флуктуаций дает те же результаты, что и микроскопическое рассмотрение. Говоря о статистических характеристиках в, мы будем иметь в виду только моменты в

В силу (31.31) в качестве среднего значения следует, очевидно, взять

    (31.38)

Среднее поле, рассчитанное при помощи (31.38) в борновском приближении для зоны Фраунгофера, совпадает с (31.9).

Для нахождения отождествим сечение (31.33), вычисленное для системы частиц, с сечением (30.16), описывающим рассеяние на непрерывных объемных неоднородностях. Приравнивая эти два выражения, учитывая (31.29) и сокращая на получаем

    (31.39)

Корреляционная функция получается отсюда преобразованием Фурье по

Интеграл в первом слагаемом правой части равен , а интеграл во втором члене, согласно (31.25), равен :

Учитывая, что получаем из (31.40) корреляционную функцию концентрации частиц:

    (31.41)

Первые слагаемые в (31.40) и в (31.41) связаны с дискретностью рассеивателей. Дельта-функция появляется в результате замены реальных частиц точечными диполями. При конечных размерах частиц вместо появилась бы дельтообразная функция, спадающая практически до нуля на расстояниях порядка размера частиц. Второе слагаемое, обусловленное корреляцией положений, напротив, описывает особенности рассеяния на коллективе частиц. При достаточно большой концентрации частиц это слагаемое становится основным, и тогда можно рассматривать рассеяние на системе частиц с коррелированными положениями как рассеяние на объемных макроскопических неоднородностях сплошной среды с корреляционной функцией

Условие, при котором можно любых углах рассеяния пренебречь «дискретным» слагаемый по сравнению с членом имеет вид

    (31.42)

где — минимальное (по q) значенне спектра. При выполнении же неравенства можно пренебречь коллективными эффектами. Если ни одно из этих неравенств не выполняется во всем диапазоне изменения угла рассеяния то надо пользоваться либо полным сечением (31.33), либо, определив из условия граничный угол пользоваться различными предельными формулами при и

6. О некогерентном рассеянии в плазме. Этот вопрос мы уже затрагивали в § 30. Здесь мы рассмотрим рассеяние на свободных электронах в плазме под другим углом зрения, а именно как пример явления, в котором, в силу особенностей парной корреляции, коллективное рассеяние оказывается пропорциональным не второй, а первой степени концентрации электронов

Двумерная плотность вероятностей в случае плазмы, находящейся в равновесии при температуре Т, выражается распределением Больцмана:

где — температура, выраженная в энергетических единицах, — эффективная потенциальная

энергия электрона, находящегося в точке в поле другого электрона, расположенного в точке

Предположим, что частицы равномерно заполняют большой объем V, так что , и рассмотрим случай, когда энергия взаимодействия двух электронов мала по сравнению с энергией теплового движения Тогда приближенно двумерная плотность будет равна

Сравнивая (31.43) с формулой (31.23), в которой нужно положить получаем для функции характеризующей корреляцию положений электронов, приближенное выражение

В случае изотропной плазмы , где дебаевский потенциал, отличающийся от кулоновского потенциала экспоненциальным множителем , где — дебаевский радиус (радиус экранирования) [14], средняя концентрация электронов. Таким образом,

Преобразование Фурье этой функции, равное

обратно пропорционально концентрации так что для поперечника коллективного рассеяния по формуле (31.35) находим

В результате суммарный поперечник рассеяния (31.33) оказывается равным

или, учитывая, что поперечник рассеяния отдельной частицы в случае электрона равен

    (31.45)

В предельном случае коротких волн из (31.45) следует, что

    (31.46)

Таким образом, суммарный эффект при рассеянии коротких волн на тепловых флуктуациях электронной концентрации оказывается таким же, как при рассеянии на N свободных электронах. Это связано с независимым характером движения электронов в пределах области целиком лежащей внутри сферы дебаевского радиуса

В противоположном случае, когда длина волны много больше дебаевского радиуса, движение электронов уже нельзя считать независимым от движения ионов. В этом случае сечение рассеяния будет

    (31.47)

т. е. вдвое меньше, чем в (31.46).