Задачи

1. Показать, что полный поперечник рассеяния единичного объема а в случае мелкомасштабных флуктуаций равен

а в случае крупномасштабных флуктуаций

Решение. Формула (1) сразу же следует из определения (26.13), так как при

В случае же надо учесть, что существенный вклад в (26.13) дают только малые углы рассеяния Вводя переменные интегрирования и учитывая, что при малых углах рассеяния получаем формулу (2).

2. Оценить полный поперечник рассеяния световых волн в случае турбулентных флуктуаций со спектральной плотностью не имеющей особенности при — волновое число, отвечающее внешнему масштабу турбулентности

Решение. В оптическом диапазоне длина волны А, мала по сравнению с внутренним масштабом турбулентности Поэтому для расчета можно воспользоваться формулой (2) предыдущей задачи, что дает (при

В приземном слое атмосферы при для длины экстинкции получаем оценку Это означает, что в задачах распространения света в приземном слое атмосферы применимость борновского приближения ограничена дистанциями такого порядка,

3. Оценить, пользуясь (27.3), поперечный радиус корреляции поля при обратном рассеянии, считая, что размеры рассеивающего объема L ограничены шириной диаграммы излучающей антенны у (рис. 34).

Решение. Главный лепесток диаграммы вырезает участок слоя с поперечными размерами формуле (27,3) имеем — размер антенны. Поэтому d, т. е. при обратном рассеяинн поперечный радикс корреляции поля порядка диаметра антенны

Рис. 34.

4. На рассеивающий объем V, расположенный вблизи идеально отражающей плоскости падает плоская волна . Найти среднюю интенсивность рассеянного поли в зоне Фраунгофера, предполагая, что поверхность абсолютно жесткая, так что граничное условие имеет вид

Решение. Полное первичное поле, удовлетворяющее граничному условию, имеет вид , где — единичная нормаль к фазовому фронту отраженной волны Функция же Грина для абсолютно жесткой поверхности равна

где радиус-вектор зеркально отраженного источника , так что .

Подставляя и G в формулу (24,11) и используя разложения типа (25.12), находим, что в зоне Фраунгофера

Отдельные слагаемые в (1) отвечают четырем возможным видам рассеяния, схематически показанным на рис. 35. Соответствующие векторы рассеяния равны

где через n обозначен вектор, «зеркальный» по отношению к единичному вектору направленному из центра рассеивающего объема в точку наблюдения

Выражение для средней интенсивности — вычисляемое при помощи (1), содержит 16 слагаемых, но существенную роль играют только четыре из них [15]:

Остальными «менами можно пренебречь нужно учитывать только при или т. е. при малых углах скольжения первичной или рассеяннию волн). В случае крупномасштабных неоднородностей существенный вклад дают только слагаемые с которые отвечают, как это видно из рис. 35, рассеянию на малые углы.

Рис. 35.

5. Найти функцию корреляции рассеянного поля, если первичное излучение представляет собой периодическую последовательность коротких импуль повторяющихся с периодом

Рис. 36.

Решение. В случае покоящихся неоднородностей рассеянный сигнал в момент бы в точности таким же, как и в момент t, и мы имели бы периодическую по корреляционную функцию, составленную из слагаемых вида

где — коэффициент корреляции огибающей отдельного импульса (29.11).

При рассеянии же на неоднородностях , меняющихся во времени, корреляция сигналов в моменты времени t и будет неполной, потому что за время рассеивающая среда изменяется. В этом случае из

(29.1) и (29,4) можно получить, что

где

Очевидно, совпадает со средней интенсивностью , которая дается выражением (29.5).

Зависимость функции корреляции от при фиксированном t схематически показана на рис. 36 в предположении, что Ширина отдельных максимумов определяется длительностью импульсов Т, а расстояние между максимумами равно Высота отдельных максимумов уменьшается с ростом m в соответствии с временным ходом Следовательно, по убыванию максимумов с ростом m можно судить о времени корреляции неоднородностей [16].

6. Пусть рассеивающий объем облучается двумя первичными волнами с разными частотами Найти интервал частотной корреляции рассеянного поля в зоне Фраунгофера.

Решение. Обозначив через соответствующие этим волнам рассеянные поля, которые в зоне Фраунгофера даются выражением (25.39), для коэффициента частотной корреляции находим

где — дельтообразная функция, определенная соотношением (27.8), — вектор рассеяния на средней частоте

Интервал частотной корреляции Лео можно оценить из неравенства

— при выполнении которого функция Я) еще заметно отличается от нуля. Учитывая (25.32), получаем, что

т. е. интервал корреляции совпадает с шириной полосы частот (29.9), в которой каналы связи, использующие рассеяние, могут работать без искажений 11].

7. Выяснить, как меняется число когерентно рассеивающих частиц при изменении длины волны в случае облака частиц, равномерно распределенных в объеме шара, и в случае непрерывного плавного (в масштабе длины волны) распределения.

Решение. Для частиц, равномерно распределенных в объеме шара радиуса

так что по формулам (31.10) и (31.12) получаем

При , т. е. при убывает пропорционально

Еще более быстрое (экспоненциальное) убывание с ростом происходит при учете размытых границ облака рассеивателей. Пусть плотностъ вероятностей плавно спадает от центра облака к периферии с характерным масштабом изменения а, равным по порядку величины радиусу облака Учитывая, что и используя известные свойства интегралов Фурье [17], для модуля характеристической функции получаем оценку

Отсюда следует, что при рассеянии назад величина составляет ничтожно малую долю от N уже при , т. е. при .

Легко объяснить, почему число когерентно рассеивающих частиц уменьшается с ростом Рассмотрим слон толщины в котором с точностью до величин порядка (слой ориентирован перпендикулярно к вектору рассеяния q). Частицы, находящиеся в этом слое, рассеивают падающее излучение синфазно (когерентно). Для каждого такого слоя можно подобрать другой тонкий слой, излучающий в противофазе (для этого он должен быть удален на нечетное число полуволн и частично гасящий излучение первого слоя. Гашение было бы полним, если бы оба слоя содержали одинаковые числа частиц. Однако, в силу случайного положения частиц в пространстве, каждая пара слоев дает малый некомпенсированный остаток. Сумма таких остатков и оценивается формулой (1).