Глава V. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СРЕДАХ С КРУПНОМАСШТАБНЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

§ 32. Уравнения геометрической оптики

В этой и двух последующих главах мы рассмотрим приближенные методы решения задач о прохождении волн через среды с крупными случайными неоднородностями, характерные размеры которых не велики по сравнению с длиной волны Я. Как мы уже знаем, при этом рассеяние на большие углы (и, в частности, рассеяние назад) пренебрежимо мало. В результате флуктуации волнового поля определяются преимущественно теми неоднородностями, которые лежат на пути волны, т. е. в окрестности луча, соединяющего источник и точку наблюдения. Обычно говорят поэтому не о рассеянии, а о распространении волн в случайно-неоднородных средах с крупными неоднородностями. Задачи такого типа, как и задачи о рассеянии воли, рассмотренные в предыдущей главе, относятся, по классификации § 8, к статистическим проблемам типа 2).

Существуют три основных приближенных метода, используемых для решения задач о флуктуациях коротковолновых полей в случайно-неоднородной среде: метод геометрической оптики (МГО), метод плавных возмущений (МПВ) и метод параболического уравнения (МПУ).

Сначала мы рассмотрим наиболее простой и наглядный из них — метод геометрической оптики. Первые расчеты по флуктуациям волн в средах с крупными неоднородностями были проведены именно при помощи МГО ([1,2] и др.; библиографию см. в [3—5]). Простота метода связана с тем, что, в отличие от метода плавных возмущений и метода параболического уравнения, приближение геометрической оптики не учитывает дифракционных эффектов, в силу чего область его применимости, конечно, уже, чем у МПВ и МПУ. Однако в своей области метод геометрической оптики обладает определенными достоинствами. Во-первых, при помощи МГО удается исследовать ряд эффектов (таких, как влияние регулярной рефракции и усиление флуктуаций поля в окрестности каустик), которые труднее описать при помощи двух других методов. Во-вторых, некоторые результаты МГО сохраняют силу и за пределами области его применимости. Это относится к расчетам флуктуаций фазы и

направления распространения волн (но не к флуктуациям амплитуды). Указанные достоинства немало способствовали тому, что метод геометрической оптики широко применялся, несмотря на успехи, достигнутые при помощи МПВ и МПУ. Можно добавить еще, что приближение геометрической оптики послужило эвристической основой при разработке обоих указанных асимптотических методов, учитывающих дифракционные эффекты.

Напомним коротко вывод уравнений геометрической оптики для простейшего случая скалярной монохроматической волиы, распространяющейся в среде с неподвижными непрерывными неоднородностями. Пусть проницаемость в уравнении Гельмгольца

    (32.1)

мало меняется на длине волны — плавно неоднородная среда). В этих условиях естественно предположить, что поле и в каждой точке приближенно имеет структуру плоской волны:

где амплитуда А и градиент фазы — медленные (в масштабе X) функции координат.

Воспользовавшись медленностью изменения , нетрудно получить уравнения для и S или для величины которая представляет собой фазовый путь волны и называется эйконалом.

Предложенный Дебаем способ вывода уравнений для амплитуды А и эйконала состоит в следующем. Разложим амплитуду А в ряд по обратным степеням волнового числа:

Коэффициенты в этом разложения в общем случае комплексны и поэтому дают вклад и в фазу результирующего поля.

Подставив ряд (32.3) в уравнение Гельмгольца и приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях k, получаем

систему уравнений для

    (32.5а)

Уравнение (32.4) носит название уравнения эйконала, а последующие уравнения для называют уравнениями переноса для амплитуд соответственно нулевого, первого и -го приближений. Обычно ограничиваются нулевым приближением МГО, оставляя в разложении (32.3) только член Последующие члены в (32.3) отбрасывают не только из-за сложности их вычисления, главным образом потому, что ряд (32.3) является асимптотическим, а для асимптотических разложений, как известно, увеличение числа учитываемых членов не всегда ведет к улучшению аппроксимации.

Уравнению эйконала (32.4) отвечают характеристики (лучи), на которых функционал экстремален (принцип Ферма). Уравнения лучей можно записать в различных формах. Для иаших целей их удобно представить в виде [3, 4]

где — элемент длины луча, касательный к лучу единичный вектор, который одновременно является и нормалью к фазовому фронту . Так как имеем

Если тем или иным способом решение лучевых уравнений (32.6) найдено, то уравнение эйконала (32.4) и уравнения переноса (32.5) могут быть проинтегрированы вдоль лучевых траекторий. Эйконал находится по формуле

а амплитуда из условия сохранения интенсивности в бесконечно тонкой лучевой трубке сечении (рис. 37):

    (32.8)

Последнее соотношение вытекает непосредственно из уравнения переноса (32.5), если записать последнее в виде

и проинтегрировать по объему между двумя сечениями бесконечно тонкой лучевой трубки.

Одно из условий применимости МГО состоит в требовании плавности изменения параметров среды:

В гл. VI, § 38 мы убедимся, что переход к геометрическому приближению (т. е. пренебрежение всеми членами в (32.3), кроме нулевого) допустим при условии малости радиуса первой зоны — дистанция, пройденная волной) по сравнению с характерным масштабом неоднородностей

    (32.10)

Рис. 37.

При выполнении этого условия можно пренебречь дифракционными эффектами, которые в рамках МГО проявляются именно в первом порядке по

Обратимся теперь к случайно-неоднородной среде. Получить аналитическое решение уравнения эйконала (32.4) или уравнений лучей (32.6) при произвольной зависимости проницаемости , от координат невозможно. Это вынуждает и здесь при решении статистических задач прибегать к приближенным методам и в первую очередь к методу возмущении. Пусть причем флуктуационная компонента мала по сравнению с регулярной: Представим эйконал в виде ряда

    (32.11)

предположив, что удовлетворяет «невозмущенпому» уравнению эйконала

    (32.12)

и т.д. Подставляя ряд (23. 11) в уравнение эйконала (32.4) и учитывая (32.12), получаем

для поправок следующие линейные уравнения:

Решения этих уравнений можно выразить в квадратурах, если известны невозмущенный эйконал и невозмущенные лучи удовлетворяющие лучевым уравнениям (32.6) при Заметим, что в нулевом приближении , где — единичный вектор, касательный к невозмущенному лучу Тогда уравнение (32.13) для поправки первого порядка которой обычно и ограничиваются при расчетах, принимает вид

    (32.14)

откуда следует, что

    (32.15)

Интегрирование здесь ведется вдоль невозмущенного луча , т. е. под знак интеграла входят функции

В простейшем случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси в однородной (в среднем) среде с , невозмущенное значение эйконала равно ; при этом лучи представляют собой прямые, параллельные оси :

В этом случае

Для приземной атмосферы, а также для ионосферы в случае ультракоротких радиоволн можно считать что , и тогда

    (32.17)

Аналогичным образом, как мы увидим далее, можно развить теорию возмущений для амплитуды, направления распространения волн, отклонен луча от невозмущенной траектории и т.д.

Применяя метод возмущений для расчета флуктуаций амплитуды и фазы волн, мы используем малость флуктуаций проницаемости:

    (32.18)

и отбрасываем члены второго порядка малости относительно . Условия, при которых можно пренебречь членами второго порядка малости, сводятся к требованию малости дисперсии уровня амплитуды

    (32.19)

что эквивалентно (при малых ) условию Заметные флуктуации уровня наступают, очевидно, там, где лучи начинают пересекаться и образуют случайные фокусы и каустики [7]. Поэтому условие (32.19) фактически ограничивает интенсивность флуктуаций и дистанцию L такими значениями, при которых образование каустик еще маловероятно.

Приведенные условия применимости имеют характер достаточных условий. Что же касается необходимых условий, то здесь можно высказать только качественное соображение, состоящее в том, что дифракционные эффекты слабее влияют на поведение фазы, чем амплитуды, вследствие, чего пределы применимости расчетов фазы могут оказаться более широкими. И действительно, сравнение с методом плавных возмущений показывает (§ 41), что некоторые результаты геометро-оптического приближения, относящиеся к статистическим характеристикам фазы и углов прихода, справедливы (с точностью до коэффициента порядка единицы) за пределами, устанавливаемыми неравенствами (32.10) и (32.19). Неравенства же (32.9) и (32.18) должны выполняться в любом случае.

Ниже мы проведем расчеты различных характеристик случайной волны (флуктуации фазы и уровня волны, статистика углов прихода и боковых смещений лучей, определение среднего поля и его функции когерентности), которые нужны для решения как прямых, так и обратных задач статистической теории распространения волн. Результаты данной главы (как и двух последующих глав) применимы к анализу широкого круга физических явлений (см., например, [3—5]).